Stochastik: Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler nach 50 Spielen keinen Verlust macht?

Question

Problem/Ansatz:

Ich habe mein Vorabitur Thema bekommen (Stochastik) das ich mündlich präsentieren soll. Ich bin leider nicht in Stochastik nicht so gut und es fällt mir schwer die Aufgaben zu bearbeiten. Ich hoffe ich kann Hilfe bekommen und falls wenn jemand antwortet bitte ich um Erklärung wie man auf die Ergebnisse gekommen ist ich bedanke mich an jedem schon im Voraus.

Aufgabe:

Auf einem Tisch liegt ein kariertes Tischtuch. Bei einem Spiel wird eine Euromünze auf den Tisch geworfen. Bleibt sie so liegen, dass sie die Grenze zwischen zwei Karos berührt, hat die Bank gewonnen und sie behält den Euro. Der Spieler gewinnt, wenn die Münze vollständig in einem Quadrat liegen bleibt.

a) Wie groß ist die Gewinnwahrscheinlichkeit des Spielers, wenn die Quadrate eine Seitenlänge von 6 cm haben ?

b) Wie groß muss in diesem Fall die Auszahlung sein, damit das Spiel im mathematischen Sinne fair ist ?

c) Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Spieler nach 50 Spielen keinen Verlust macht ?

EDIT: Gemeint war: c2) Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Spieler, der 50 mal spielt, keinen Verlust macht ? und Zum Gewinn pro Spiel: Den legt man in b) fest. 

Comments

Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Spieler nach 50 Spielen keinen Verlust macht ?

Wie genau ist das im Original formuliert?

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Das ist genau so Original formuliert.

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c) Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Spieler nach 50 Spielen keinen Verlust macht ?

Tatsächlich?

Ich hätte da verschiedene Lesarten:

c1) Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Spieler nach 50 Spielen keinen Verlust mehr macht ?

c2) Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Spieler, der 50 mal spielt, keinen Verlust macht ?

Wie genau verstehst du die Frage?

Was gewinnt man überhaupt maximal pro Spiel?

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Ich werde mal diese Frage meinen Lehrer stellen und dann werde ich eine Antwort geben :)

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Hallo Lu,

Ich habe das mit meinem Lehrer besprochen, und er meinte das c2) gemeint ist also Wie Wahrscheinlich ist es, dass ein Spieler, der 50 mal spielt, keinen Verlust macht ?. Er meinte aber auch das ich auch gerne etwas zu c1) eine Interpretation in der Prüfung erzählen kann.

Zum Gewinn pro Spiel:
Den legt man in b) fest.

Wenn ich aber einen anderen Gewinn als in b) festlegen möchte, kann ich das auch gerne machen und ihn mit dem aus b) vergleichen. Aber ich soll zunächst rechnen mit dem Gewinn, den ich in b) festgelegt habe.

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c1) Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Spieler nach 50 Spielen keinen Verlust mehr macht ?

Hierzu könntest du sagen, dass die Münze kein Gedächtnis hat. D.h. die Wahrscheinlichkeit, dass man verliert (oder gewinnt) ist bei jedem neuen Spiel wieder gleich gross wie bei einem Spielanfänger. Also: Auch wenn man schon 1 Million Euro verloren hat, ist die Wahrscheinlichkeit, dass man beim nächsten Spiel etwas gewinnt, immer noch gleich gross, wie wenn man noch gar nie gespielt hätte.

c2) Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Spieler, der 50 mal spielt, keinen Verlust macht ?

Hier kannst du Oswald noch sagen, was der man gewinnen kann. Das ist die Lesart, die der_Mathecoach vermutet hat, weil der_Mathecoach schon viele solche Fragen beantwortet hat, und zu wissen glaubt, welche Rechnung Fragesteller gern sehen würden.

Allerdings stand das ja nicht genau so in der Fragestellung. 

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Ich habe jetzt nicht richtig verstanden was du meinst bei c2), also wie ich die Frage jetzt beantworten könnte weiß ich immer noch nicht.

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Hi Lu,

Könntest du mir noch helfen wie man Aufgabe b) berechnet, und anhand dieses Ergebnis mir dann helfen wie ich dann die Aufgabe erklären kann?

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Vom Duplikat:

Titel: Wahrscheinlichkeit 1 Euromünze

Stichworte: wahrscheinlichkeit

Auf einem Tisch liegt ein kariertes Tischtuch. Bei einem Spiel wird eine 1 Euromünze auf den Tisch geworfen. Bleibt sie so liegen, dass sie die Grenze zwischen zwei Karos berührt, hat die Bank gewonnen und sie behält den Euro. Der Spieler gewinnt, wenn die Münze vollständig in einem Quadrat liegen bleibt.

Aufgabe:

a) Wie groß ist die Gewinnwahrscheinlichkeit des Spielers, wenn die Quadrate eine Seitenlänge von 5 cm haben?

b) Wie groß muss in diesem Fall die Auszahlung sein, damit das Spiel im mathematischen Sinne fair ist?

c) Wie wahrscheinlich ist es, das ein Spieler nach 100 Spielen keinen Verlust macht?

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https://www.mathelounge.de/667293/stochastik-wahrscheinlichkeit-spieler-spielen-keinen-verlust

Answer 1

a) Wie groß ist die Gewinnwahrscheinlichkeit des Spielers, wenn die Quadrate eine Seitenlänge von 6 cm haben ?

Eine Euromünze hat einen Radius von 1,1625 cm.

Wenn die Quadrate eine Seitenlänge von 6 cm haben, dann muss der Mittelpunkt der Euromünze für einen Gewinn in einem Quadrat der Seitenlänge (6 - 2·1,1625) cm = 3,675 cm landen. Dazu steht eine Fläche von (3,675 cm)² = 13,505625 cm² zur Verfügung. Das entspricht einer Gewinnwahrscheinlichkeit von

13,505625 cm²/ (6 cm)² = 0,37515625.

b) Wie groß muss in diesem Fall die Auszahlung sein, damit das Spiel im mathematischen Sinne fair ist ?

Das Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert 0 ist.

c) Wie wahrscheinlich ist es, das ein Spieler nach 50 Spielen kein Verlust macht ?

Das kommt auf die Auszahlung an.

Ist die a die Ausszahlung und k eine Anzahl von Spielen um keinen Verlust zu machen, dann gilt

        k·a ≥ 50-k.

Stelle nach k um und berechne damit

        P(X ≥ k)

wobei X binomialverteilt mit n = 50 und p = 0,37515625 ist.

Comments

Das kommt auf die Auszahlung an.

Ich hätte bei c) eine Auszahlung wie unter b) angenommen, damit das Spiel fair ist. Dabei muss gesagt werden das es nur eine Auszahlung gibt damit das Spiel näherungsweise fair ist.

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Weist du wie viel die Auszahlung ist bzw. wie man den ausrechnet?

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Ich hatte es berechnen. Das Ergebnis weiß ich jetzt aber nicht mehr. Aber du solltest den Erwartungswert des Gewinnes gleich 0 setzen.

Das solltest du aber auch selber schaffen oder nicht?

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Ich hätte bei c) eine Auszahlung wie unter b) angenommen

Ich habe die Auszahlung einfach a genannt und damit meine Antwort überarbeitet.

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Wie bist du auf die 13,505625 cm^2 gekommen?

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Damit die Münze vollständig im Quadrat liegt muss ihr Mittelpunkt mind. den Abstand vom Münzradius zu allen Quadratseiten haben.

Vorgerechnet wurde es bereits richtig. Du solltest dir zum Verständnis das auch aufzeichnen, damit du es besser Verstehst.

Zeichne dir dazu ein Quadrat mit der Seitenlänge 6 cm in das du exemplarisch ein paar Euromünzen malst die die Seiten nicht schneiden, die die Seiten berühren oder die die Seiten schneiden.

Dann wird es dir sicher klarer.

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Hallo oswald,

Ich hätte auch eine kurze Frage zur Aufgabe a), wie bist du auf die 13,505625 cm2/ (6 cm)2 = 0,37515625 gekommen ? Wenn ich 13.50625 quadriere kommt da ein anderes Ergebnis raus.

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Die 13.5... wird auch nicht quadriert. Das Quadrat bezieht sich NUR auf das cm.

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Und wie kommt man auf die  0,37515625?

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Probier mal

13.505625 / 6^2

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Hi oswald,

Zu Aufgabe c) also c2) Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Spieler, der 50 mal spielt, keinen Verlust macht ?. Da habe ich ja gegeben das n= 50 ist und p= 0,37515625 ist.

Jetzt muss ich ja die Binomialverteilung anwenden ich weiß aber nicht was ich ausrechnen soll ?. Könntest du mir da behilflich sein?

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Wie bist du auf die 13,505625 cm² gekommen?

Ich habe 3,675 cm quadriert. Das steht in meiner Antwort.

Wenn ich 13.50625 quadriere kommt da ein anderes Ergebnis raus.

Vorrangregeln bei Potenzen:

        abⁿ ist zu verstehen als a(bⁿ) und nicht als (ab)ⁿ.

In dem Ausdruck

        13,505625 cm²

werden die 13,505625 also nicht quadriert, sondern nur die cm. In dem Ausdruck

        (3,675 cm)²

werden sowohl die 3,675 quadriert, was 13,505625 ergibt, als auch die cm, was cm² ergibt.

Und wie kommt man auf die  0,37515625?

Man tippt 13,505625 / 6 ^ 2 in den Taschenrechner ein.

Jetzt muss ich ja die Binomialverteilung anwenden

Richtig. Du musst für das kleinste mittels k·a ≥ 50-k berechnete k die Intervallwahrscheinlichkeit P(k ≤ X ≤ 50) berechnen.

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könntest du mir zeigen wie ich die Intervallwahrscheinlichkeit P(k ≤ X ≤ 50) berechne?

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Wie du Intervallwahrscheinlichkeiten praktisch berechnest kommt auf deinen Taschenrechner an.

Mathematish betrachtet werden die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse addiert, also

P(k ≤ X ≤ 50) = P(X=k) + P(X=k+1) + P(X=k+2) + ... + P(X=50).

Dabei kann jedes P(X =i) mit der Bernoulli-Formel

P(X=i) = B_{50, 0,37515625}(i) = \( \begin{pmatrix} 50\\i \end{pmatrix} \cdot 0,37515625^i\cdot(1 - 0,37515625)^{50-i}\)

berechnet werden.

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Hi oswald,

Ich habe es das Ergebnis so ausgerechnet: https://www.youtube.com/watch?v=BF5fJEEwvjM also mit der Binomialrechnung mit dem Taschenrechner. Ich habe ja n= 50 und p= 0,37515625 und P(x kleiner als 50) wollen wir ja ausrechnen dann habe ich die ganzen Werte in meinen Taschenrechner eingesetzt in die Formel und bin auf das Ergebnis 1 gekommen ist das richtig ?

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und P(x kleiner als 50) wollen wir ja ausrechnen

Nein, das wollen wir nicht. Zumindest ich will das nicht. Und du solltest es nicht wollen.

Du solltest P(k ≤ X ≤ 50) ausrechnen wollen.

Das geht konkret natürlich nur dann, wenn k bekannt ist. Hast du k schon bestimmt? Zu Erinnerung, das geht mit der Ungleichung

        k·a ≥ 50-k.

Dazu musst du natürlich a bestimmen. Das a ist deine Lösung von Teilaufgabe b).

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Ich habe es das Ergebnis so ausgerechnet: ...

Das Video ist in Ordnung. Nur musst du den Rechenweg etwas mehr an dein konkretes Problem anpassen, als du es getan hast.

Übetragen auf dein Problem wird in dem Video erklärt, wie du

        P(X ≤ 50)

berechnest. Die 50 ist dabei die obere Grenze und die untere Grenze ist 0.

In deinem Fall ist die untere Grenze nicht 0, sondern der auf eine natürliche Zahl K abgerundete Wert von k. Du musst also

        \(\sum_{x=K}^{50} 50\mathbf{C}x × 0.37515625^x × 0.62484375^{50-x}\)

berechnen.

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Geht doch bitte schrittweise vor. Ich sehe momentan noch keinen Wert für die korrekte Auszahlung.

Aber ich habe jetzt auch nur alles überflogen.

Also bitte zuerst die Auszahlung bestimmen, dann die Anzahl der Spiele ermitteln um nicht zu verlieren und dann die Wahrscheinlichkeit ausrechnen.

Man kann das natürlich auch alles mit Variablen machen. Allerdings ist wenn der Anfängliche Wert für die Variable falsch ist alles falsch.

Und leider habe ich hier auch noch keine vernünftige Rechnung von iApple gesehen.

Also die Gewinnwahrscheinlichkeit des Spielers ist mit

p = (60 - 23.25)^2 / 60^2 = 2401/6400 = 0.37515625

schon in Ordnung. Daraus bitte jetzt mal die Auszahlung für ein faires Spiel ermitteln.

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Die Auszahlung habe ich schon berechnet, die Auszahlung beträgt 2,67€.

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Hi Oswald,

Kommt dann bei dir auch 1 raus ?. Weil bei mir kommt 1 raus was heißt das ein Spieler der 50-mal spielt hat die Wahrscheinlichkeit von 1% das der Spieler keinen Verlust macht richtig ?

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1 bedeutet sicher 100% oder nicht ?

Hast du als untere Grenze 0 genommen und nicht wie oswald gesagt hat K?

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Ich hatte für die untere Grenze 0 genommen.

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Dann nimm für die untere Grenze K. Zu Erinnerung, K ist die kleinste natürliche Zahl, für die

        K·8/3 ≥ 50-K

gilt.