Vektorgleichung in Parameterform

Question

Ich brauch bitte Hilfe bei der Aufgabe und am besten ausführlich mit Rechenweg,

Aufgabe: Stellen Sie aus der Koordinatengleichung der Ebene E eine Parametergleichung
auf und bestimmen sie y so, dass Q(2, y, 6) einen Abstand von 2 LE zur Ebene besitzt.
E : −3x₁ + 2x₂ + x₃ − 2 = 0

Problem/Ansatz

Das Ergebnis muss so aussehen:

E: \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\2 \end{pmatrix} \) +r·\( \begin{pmatrix} 1\\0\\3 \end{pmatrix} \) + s·\( \begin{pmatrix} 0\\1\\-2 \end{pmatrix} \)

Für y = 4.742 ∨ y = -2.742 beträgt der Abstand zum Q 2 LE

Answer 1

Stellen Sie aus der Koordinatengleichung der Ebene E eine Parametergleichung auf

Bestimme einen Punkt auf der Ebene indem du zwei Koordinaten festlegst, in die Koordinatengleichung einsetzt und dann die dritte Koordinate ausrechnest.

Bestimme so zwei weitere Punkte auf der Ebene. Achte darauf, dass die Punkte nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen dürfen.

Bestimme anhand der drei Punkte eine Parameterdarstellung der Ebene.

bestimmen sie y so, dass Q(2, y, 6) einen Abstand von 2 LE zur Ebene besitzt.

Verwende die hessesche Normalenform der Ebene.

Das Ergebnis muss so aussehen:
E: X = (0,0,2) +r (1,0,3) + + s (0,1,-2)

Das Ergebnis kann so aussehen, muss es aber nicht. Die selbe Ebene kann durch unterschiedliche Parametergleichungen beschreiben werden.

Answer 2

E : −3x1 + 2x2 + x3 − 2 = 0


… Das Ergebnis muss so aussehen:

E: X = (0,0,2) +r (1,0,3) + + s (0,1,-2)

Muss es nicht. Parametergleichungen sind nicht eindeutig bestimmt.

Du brauchst nur 3 Punkte von E auszusuchen, die nicht auf

einer Geraden liegen, z.B.

(0,0,2) denn wenn du das bei −3x1 + 2x2 + x3 − 2 = 0

einsetzt, entsteht eine wahre Aussage.

Dann wären noch ( 1, 0, 5) und (0,1,0) möglich-

Dann ist die Parametergleichung

X = (0,0,2) +r((1,0,5)-(0,0,2) ) +  s( (0,1,-0)-(0,0,2) ).

Aber man hätte auch andere Punkte nehmen können.

Answer 3

Die meiner Meinung nach schnellste Variante geht ohne das Berechnen dreier Punkte:

1. Einen Punkt als Stützpunkt kann man sehr leicht ermitteln. Setze dazu einfach 2 der Koordinaten gleich 0 und die dritte Koordinate ist dann sehr leicht anzugeben. Wähle hier etwa \(x_1=x_3=0\) und überlege dir mal, warum gerade diese Wahl hier am sinnvollsten ist.

2. Die Spannvektoren bekommt man am einfachsten, indem man zwei (linear unabhängige) Vektoren findet, die orthogonal (also senkrecht) zum Normalenvektor sind. Solche Vektoren lassen sich aber sehr leicht konstruieren: a) Wähle eine Koordinate gleich 0. b) Vertausche die beiden übrigen Koordinaten. c) Ändere bei einer der übrigen Koordinaten das Vorzeichen.

Beispiel: Zum Vektor \(\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\) ist der Vektor \(\begin{pmatrix}0\\-3\\2\end{pmatrix}\) orthogonal.

Setzt man nun zwei unterschiedliche Koordinaten jeweils gleich 0, ist die lineare Unabhängigkeit der Spannvektoren gewährleistet.

Schaut man sich die Lösung an, sieht man auch sofort, dass die Spannvektoren sehr wahrscheinlich auf diese Weise bestimmt worden sind. Wirklich rechnen muss man also gar nicht.

Den Normalenvektor kann man hier übrigens als \(\begin{pmatrix}-3\\2\\1\end{pmatrix}\) ablesen.