Geradengleichung in Vektorgleichung umwandeln?

Question

Hey,

habe g: y= -1/4x + 7/2

und h: x= (6/2) + s (-8/2)

Wie forme ich g in eine Vektorgleichung (wie h) und h in eine Geradengleichung (wie g) um?

Danke

Answer 1

g:

Das 7/2 ist der y-Achsenabschnitt und kann als Stützvektor verwendet werden.

Das -1/4 ist die Steigung und kann als Richtungsvektor verwendet werden.

h:

Das \( \begin{pmatrix} -8\\2 \end{pmatrix} \) ist der Richtungsvektor und kann als Steigung verwendet werden.

Das \( \begin{pmatrix} 6\\2 \end{pmatrix} \) ist der Stützvektor, daraus kann mit der Steigung der y-Achsenabschnitt berechnet werden.

Comments

Also 7/2 als y im stützvektor also (0/3,5) und Kehrwert von -1/4 für Richtungsvektor also wäre y in der Vektorgleichung: (0/3,5) + r(-4/1)?

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Ich halte das für eine mögliche Lösung, ja.

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Kehrwert von -1/4 für Richtungsvektor

Du meinst zwar das richtige, Trotzdem ist Kehrwert natürlich der verkehrte Begriff.

Weil ein Vektor ist etwas ganz anderes als ein Bruch.

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Was sagt man dazu? Wenn ich in der Klausur begründen will was ich mache.

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Gemäß dem Steigungsdreieck nimmt man den Zähler des Bruches alss y-Komponente und den Nenner als x-Komponente des Vektors.

Da m = Δy / Δx

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Du kannst auch einfach die Variable \(x\) gleich dem freien Parameter \(s\) setzen und schreibst beide Gleichungen in dieser Form übereinander$$\begin{aligned} x &= s& +& 0\\ y &= -1/4s& +& 7/2\end{aligned}$$und fast das ganze als Vektorgleichung auf$$g:\quad\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} =  s\begin{pmatrix} 1\\-1/4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0\\7/2 \end{pmatrix}$$Da es bei dem Richtungsvektor nur auf die Richtung ankommt, kannst Du diesen noch mit einem beliebigen Faktor (z.B. 4) multiplizieren:$$g:\quad\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} =  s\begin{pmatrix} 4\\-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0\\7/2 \end{pmatrix}$$

Answer 2

\(\begin{aligned}g:\quad\vec{x} &= \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix}x\\-\frac{1}{4}x + \frac{7}{2}\end{pmatrix}\\&= \begin{pmatrix}1x+0\\-\frac{1}{4}x + \frac{7}{2}\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}1x\\-\frac{1}{4}x \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\\frac{7}{2}\end{pmatrix}\\&=x\cdot\begin{pmatrix}1\\-\frac{1}{4}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\\frac{7}{2}\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}0\\\frac{7}{2}\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}1\\-\frac{1}{4}\end{pmatrix}\end{aligned}\)

\(\begin{aligned}h:\quad\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-8\\2\end{pmatrix}\end{aligned}\)

Wandle die Gleichung in ein Gleichungssystem mit zwei Variablen um. Forme beide Gleichungen nach \(s\) um. Setze gleich. Forme nach \(y\) um.

Answer 3

Suche zwei Punkte, die auf g liegen. Nimm einen der beiden für den Stützvektor und den Vektor zwischen beiden als Richtungsvektor.

Berechne den Schnittpunkt von h mit der y-Achse. Damit erhältst du n für die Gleichung y=mx+n.

Nutze weiterhin zwei Punkte von h, um aus dem Steigungsdreieck zwischen diesen beiden Punkten m zu bestimmen.

Answer 4

g: y = -1/4x + 7/2

g: X = [0, 7/2] + r * [4, -1]

h: x= [6, 2] + s [-8, 2]

h: y = -2/8 * (x - 6) + 2 = -1/4 * x + 7/2

Fällt dir etwas auf?

Comments

7/2 als y im Stützvektor also (0/3,5) und Kehrwert von -1/4 für Richtungsvektor?

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y = m/n * x + b

Hat den Schnittpunkt (0 | b) mit der y-Achse und Laut Steigungsdreieck geht man m Einheiten in y-Richtung, wenn man n Einheiten in x-Richtung geht.

Daraus ergibt sich die Parameterform

X = [0, b] + r * [n, m]

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Vielen Dank ^^!