Vektorgleichung berechnen. Lineare Gleichung

Question

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1. Gegebensind die Vektoren \( \vec{a}_{1}, \vec{a}_{2}, \vec{a}_{3} \) mit
\( \begin{array}{l} \vec{a}_{1}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) \\ \vec{a}_{2}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right) \\ \vec{a}_{3}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 1 \end{array}\right) \end{array} \)
(a) Bestimmen Sie, ob diese Vektoren linear abhängig sind.
(b) Bestimmen Sie den Rang der Matrix
\( A=\left(\vec{a}_{1} \vec{a}_{2} \vec{a}_{3}\right) \)
(c) Lösen Sie ohne Taschenrechner die Gleichung
\( \vec{a}_{1} \cdot x_{1}+\vec{a}_{2} \cdot x_{2}+\vec{a}_{3} \cdot x_{3}=\vec{y}_{i} \)
\( \mathrm{mit} \)
i. \( y_{i=1}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \)
ii. \( y_{i=2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \)
iii. \( y_{i=3}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) \)
(d) Die Lösungen
\( \vec{x}=\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right) \)
von Aufgabe (c) bilden ein Geraden im \( R^{3} \).
i. Geben Sie diese Geraden an.
ii. Untersuchen Sie die gegenseitige Lage dieser Geraden.

Könnte mir jemand bei c und d helfen?

Ehrlich gesagt überhaupt keinen Ansatz wie ich das mache und verzweifele gerade ein wenig.

Answer 1

Lösen Sie ohne Taschenrechner die Gleichung\( \vec{a}_{1} \cdot x_{1}+\vec{a}_{2} \cdot x_{2}+\vec{a}_{3} \cdot x_{3}=\vec{y}_{i} \)

Die gegebenen Vektoren einsetzen und dann in eine Glecihungssystem mit 3 Gleichungen überführen. Dieses lösen, zum Beispiel mit dem Gauss-Verfahren.

Answer 2

Zu c)

(i) Lösungsmenge {[2t|t|-t],t∈ℝ}

(ii) Lösungsmenge {  }

(iii) Lösungsmenge {  }

Answer 3

Aloha :)

zu a) Wir schreiben die 3 Vektoren in eine Matrix und bringen diese durch elementare Spalten-Operationen auf Dreieckform. Dadurch werden eventuell vorhandene lineare Abhängigkeiten aus den Vektoren herausgerechnet.

$$\begin{array}{rrr} & -2S_1 & -4S_1\\\hline1 & 2 & 4\\2 & 1 & 5\\1 & -1 & 1\end{array}\;\to\;\begin{array}{rrr} & \colon(-3) & -S_2\\\hline1 & 0 & 0\\2 & -3 & -3\\1 & -3 & -3\end{array}\;\to\;\begin{array}{rrr} -S_1 & & \\\hline1 & 0 & 0\\2 & 1 & 0\\1 & 1 & 0\end{array}\;\to\;\begin{array}{rrr} & & \\\hline1 & 0 & 0\\1 & 1 & 0\\0 & 1 & 0\end{array}$$Wir haben eine Nullspalte erhalten, d.h. ein Vektor kann durch die beiden anderen ausgedrückt werden. Die 3 Vektoren sind daher linear abhängig.

zu b) Bei der Berechnung zu Teil a) sind 2 linear unabhängige Spaltenvektoren übrig geblieben. Diese bilden eine Basis des durch die Matrix erzeugten Bildraums. Die Dimension dieses Bildraums ist daher gleich \(2\), sodass auch der Rang der Matrix gleich \(2\) ist.

zu c) Hier sollen wir drei Gleichungssysteme ohne TR losen. Da wir faul sind, rechnen wir nur ein Mal, aber mit dem allgemeinen Vektor \(\vec y=(a;b;0)^T\)$$\begin{array}{rrr|r|l}x_1 & x_2 & x_3 & = & \text{Aktion}\\\hline1 & 2 & 4 & a &\\2 & 1 & 5 & b & -2Z_1\\1 & -1 & 1 & 0 & -Z_1\\\hline1 & 2 & 4 & a &\\0 & -3 & -3 & b-2a & \colon(-3)\\0 & -3 & -3 & -a & -Z_2\\\hline1 & 2 & 4 & a & -2Z_2\\0 & 1 & 1 & \frac{2a-b}{3} & \\0 & 0 & 0 & a-b & \\\hline1 & 0 & 2 & \frac{2b-a}{3} & \Rightarrow x_1+2x_3=\frac{2b-a}{3}\\0 & 1 & 1 & \frac{2a-b}{3} & \Rightarrow x_2+x_3=\frac{2a-b}{3}\\0 & 0 & 0 & a-b & \Rightarrow 0=a-b\end{array}$$Die stärkste Forderung ist sicherlich die letzte, also \(a-b=0\). Daraus folgt nämlich sofort, dass es keine Lösung für \(\vec y_{i=2}\) und \(\vec y_{i=3}\) gibt. Nur im Fall \(\vec y_{i=1}\) ist die letzte Forderung erfüllt. Damit haben wir folgende Lösungen:$$L_1=\{(x_1;x_2;x_3)\in\mathbb R^3\,\big|x_1+2x_3=0\;\land\;x_2+x_3=0\}\quad;\quad L_2=L_3=\emptyset$$

zu d) Die Lösungsmenge \(L_1\) können wir auch als Gerade formulieren, indem wir die beiden Bedingungen umformen:$$x_1=-2x_3\quad;\quad x_2=-x_3$$und die Lösungen als Vektor notieren:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2x_3\\-x_3\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}-2\\-1\\1\end{pmatrix}$$Da es sonst keine Lösungsgeraden gibt, können wir eine gegenseitige Lage der Geraden nicht untersuchen.