Bestimmen Sie die Polstelle und die Asymptote von f(x) .

Question

Aufgabe:

Wie kann man bei der Funktion ohne Berechnen die aufgabe a) bestimmen. Irgendwie wurde es ja abgelesen

Text erkannt:

Aufgabe 3
Gegeben ist die folgende Funktion:
\( f(x)=(x-3)^{-1}+2 . \)
(a) Bestimmen Sie die Polstelle und die Asymptote von \( f(x) \).
(b) Bilden Sie die Umkehrfunktion der Funktion von \( f(x) \).
(c) Was passiert mit der Asymptote und der Polstelle der Ursprungsfunktion?

Lösung:
(a)
\( f(x) \) hat eine Polstelle für \( x=3 \). Die Asymptote lautet \( y_{A}=2 \).

Answer 1

Polstellen können auftreten, wenn der Nenner eine Nullstelle hat. In dem einfachen Fall kann man das ablesen.

Comments

Okay, verstehe. Und wie kommt man auf die Asymptote ?

---

Die senkrechte Asymptote ergibt sich ja direkt aus der Polstelle mit \(x=3\). Die waagerechte Asymptote kannst du ebenfalls direkt ablesen. Betrachte das Verhalten im Unendlichen: der Nenner wird unendlich groß (klein) und geht dann gegen 0, so dass am Ende nur \(y=2\) übrig bleibt.

Answer 2

Okay, verstehe. Und wie kommt man auf die Asymptote ?
x -> ∞
f ( x ) = 1 / (x-3) + 2
f ( x ) = 1 / (∞-3) + 2
f ( x ) = 1 / ∞ + 2
1 / ∞ = 0
0 + 2 = 2
Asymptote : y = 2

Comments

f ( x ) = 1 / ∞ + 2

So bitte nicht!

---

Hallo Apfelmännchen,
warum nicht ?
mfg Georg

---

Es handelt sich hier um einen Grenzwert. Unendlich wird nicht eingesetzt.

---

Apfelmännlein schrieb,

Betrachte das Verhalten im Unendlichen: der Nenner wird unendlich groß (klein) und geht dann gegen 0, so dass am Ende nur \(y=2\) übrig bleibt.

Wodurch unterscheidet sich deine Antwort
von meiner Antwort ?
mfg Georg

Answer 3

Und wie kommt man auf die Asymptote ?

\( f(x)=(x-3)^{-1}+2\\=\frac{1}{x-3}+2\\=\frac{1+2x-6}{x-3}\\=\frac{2x-5}{x-3} \)

Mit x kürzen:

\( \frac{\frac{2x}{x}-\frac{5}{x}}{\frac{x}{x}-\frac{3}{x}}\\= \frac{2-\frac{5}{x}}{1-\frac{3}{x}}\\ \)

\( \lim\limits_{x\to\infty}\frac{2-\frac{5}{x}}{1-\frac{3}{x}}=2 \)

Oder mit der Regel von L'Hospital:

\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{2x-5}{x-3}=\frac{2}{1} \)

Asymptote:

\(y=2\)