Bestimmen Sie eine Basis ϐ von Bild(A).

Question

Text erkannt:

\( A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 2\end{array}\right) \)

Bestimmen Sie eine Basis ϐ von Bild(A).

könnte mir jemand erklären wie ich hier vorgehen muss ?

Answer 1

Das Bild(A) wird erzeugt von den Spaltenvektoren

der Basis A. Der 1. und der 3. sind offenbar Vielfache

voreinander, für eine Basis kann man also

schonmal den 3. weglassen.

Die ersten beiden sind allerdings lin. unabh., bilden

also eine Basis für Bild(A).

Comments

also wäre meine Basis für Bild A (1,1,1) und (1,3,2)?

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Ist jedenfalls eine Möglichkeit,

kannst auch den 2. und den 3. nehmen.

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sagen wir mal ich habe die Basis für Bild A (1,1,1) und (1,3,2) genommen

wie würde ich dann diese Aufgabe berechnen

Benutzen Sie das Gram-Schmidt-Verfahren um aus der Basis B eine Orthonormalbasis C zu machen.

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Dann erzeuge durch v2 = (1,3,2)+t(1,1,1)

einen anderen Basisvektor, der zu (1,1,1) orthogonal ist.

Nach Gram-Schmidt ( siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren#Algorithmus_des_Orthogonalisierungsverfahrens) bzw. mit Skalarprodukt *

ist der Fall für t=-(1,1,1)*(1,3,2) /  ((1,1,1)* (1,1,1))

                      t= -6 / 3 = -2

Also v2 = (-1,1,0 ).

Dann sind also (1,1,1) und (-1,1,0) orthogonal

zueinander . Und zum Normieren musst du noch

die Längen auf 1 bringen und bekommst

1/√3  (1,1,1) und 1/√2  (-1,1,0) für die ON-Basis.

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Danke hast mir sehr geholfen