Sei die Funktion f : R → C stetig.

Question

Aufgabe:

Sei die Funktion f : R → C stetig.
i) Zeigen Sie, dass der Realteil und der Imaginärteil von f ebenfalls stetig sind.
ii) Zeigen Sie, dass die Funktion g : R → C : x 7→ f(x)
2
stetig ist.

Comments

Hallo

1. benutze einfach die Stetigkeit in C, am einfachsten Re(f) nicht stetig, zum Widerspruch führen.

b) ist nicht lesbar, warum kann man seine posts auch nach dem Senden nicht kontrollieren, du bist ja wohl Studi und nicht ein kleiner Schüler?

lul

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Zeigen Sie, dass die Funktion g : R → C : f(x)^2 stetig ist.

Es tut mir leid, wenn meine Nachricht für Verwirrung gesorgt hat. Ich bemühe mich, meine Antworten so klar wie möglich zu formulieren.

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Für i:

Beweis für den Realteil u(x):
Angenommen, der Realteil u(x) von f wäre nicht stetig an einem Punkt x=x0. Das bedeutet, es existiert ein ε>0, so dass für jede δ>0 ein ∣xn −x0∣<δ existiert, aber ∣u(xn) −u(x0)∣≥ε.

Da f als komplexe Funktion stetig ist, ist f genau dann stetig, wenn sowohl der Realteil u(x) als auch der Imaginärteil v(x) stetig sind. Daher kann der Realteil u(x) nicht unstetig sein, da das die Stetigkeit von f verletzen würde.

Beweis für den Imaginärteil v(x): Angenommen, der Imaginärteil v(x)  wäre nicht stetig an einem Punkt x=x0

Das würde bedeuten, es existiert ein ε>0, so dass für jede δ>0 ein xn mit ∣xn−x0∣<δ existiert, aber
∣v(xn) −v(x0)∣≥ε.
Aber gemäß der Definition von
f als komplexe Funktion muss sowohl der Realteil u(x) als auch der Imaginärteil v(x) stetig sein, damit f als komplexe Funktion stetig ist. Daher kann auch der Imaginärteil v(x) nicht unstetig sein, da das die Stetigkeit von f verletzen würde.

Das habe ich mir ausgedacht.

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Hallo

du benutzt ja genau das was du beweisen sollst: dein Satz

Da f als komplexe Funktion stetig ist, ist f genau dann stetig, wenn sowohl der Realteil u(x) als auch der Imaginärteil v(x) stetig sind.  ist die aussage, die du beweisen sollst!

sieh genau nach wie ihr Stetigkeit in ℂ definier habt, nur das darfst du benutzen.

zu 2 wenn man von f nichts weiss dann auch nichts von f^2(x) oder f(x^2)  poste den Orginalltext.

lul