Bruch mit Wurzel vereinfachen.

Question

Mich würde interessieren, wie man den Bruch vereinfacht hat:

Text erkannt:

\( =\frac{\sqrt{1-\left(\frac{1}{4} \sqrt{10-2 \sqrt{5}}\right)^{2}}}{\left(\frac{1}{4} \sqrt{10-2 \sqrt{5}}\right)}=\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}} \)

Wenn ich den Bruch durch den Term im Nenner kürzer, steht da \( \sqrt{1-(1/4)(\sqrt{10-2\sqrt{5}}} \))
Multipliziert mit 1/4 und zusammengerechnet steht dann in der Wurzel:
(1/4)\( \sqrt{10} \)-(1/2)\( \sqrt{5} \) = \( \frac{\sqrt{10}-2\sqrt{5}}{4} \)

Verstehe nicht wie man dann auf \( \sqrt{1 + \frac{2}{\sqrt{5}}} \) kommt

Comments

Aus Differenzen und Summen darf nicht gekürzt werden.

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Aus Differenzen und Summen

kürzen nur die Dummen. Lässt sich besser merken. ;)

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Höre ich zum ersten Mal.

Wieder was gelernt.

Answer 1

Aloha :)

$$\phantom=\frac{\sqrt{1-\left(\frac14\sqrt{10-2\sqrt5}\right)^2}}{\left(\frac14\sqrt{10-2\sqrt5}\right)}=\sqrt{\frac{1-\left(\frac14\sqrt{10-2\sqrt5}\right)^2}{\left(\frac14\sqrt{10-2\sqrt5}\right)^2}}=\sqrt{\frac{1}{\left(\frac14\sqrt{10-2\sqrt5}\right)^2}-1}$$$$=\sqrt{\frac{16}{10-2\sqrt5}-1}=\sqrt{\frac{8}{5-\sqrt5}-1}=\sqrt{\frac{8-(5-\sqrt5)}{5-\sqrt5}}=\sqrt{\frac{3+\sqrt5}{5-\sqrt5}}$$$$=\sqrt{\frac{(3+\sqrt5)(5+\sqrt5)}{(5-\sqrt5)(5+\sqrt5)}}=\sqrt{\frac{20+8\sqrt5}{20}}=\sqrt{1+\frac{8\sqrt5}{4\cdot5}}=\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt5}}$$

Answer 2

Das, was du da kürzt funktioniert natürlich überhaupt nicht.

Zur Vereinfachung ignoriere ich die große Wurzel. Dann gilt $$\frac{1-\left(\frac{1}{4}\sqrt{10-2\sqrt{5}}\right)^2 }{\frac{1}{16}(10-2\sqrt{5})}=\frac{1-\frac{1}{16}(10-2\sqrt{5})}{\frac{1}{16}(10-2\sqrt{5})}=\frac{1}{\frac{1}{16}(10-2\sqrt{5})}-1.$$ Die \(\frac{1}{16}\) im Nenner kommen dann daher, weil an dieser Stelle "quadriert" wurde.

Wir machen nun den Nenner rational durch Anwendung der 3. binomischen Formel: $$\frac{10+2\sqrt{5}}{\frac{1}{16}(10-2\sqrt{5})(10+2\sqrt{5})}-1=\frac{10+2\sqrt{5}}{5}-1=2-\frac{2\sqrt{5}}{5}-1=1+\frac{2}{\sqrt{5}}.$$

Daraus folgt die Behauptung, wenn man nun auf beiden Seiten wieder die Wurzel zieht.

Answer 3

Wir denken etwas trigonometrisch und setzen

\(\cos x=  \frac 14\left(\sqrt{10-2\sqrt 5}\right)\)

Dann steht auf der linken Seite

\(\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x\)

Mit \(1+\tan^2x = \frac 1{\cos^2 x}\) erhalten wir sofort

\(\tan^2 x = \frac{16}{10-2\sqrt 5} -1 = \frac 15(10+2\sqrt 5)-1 = 1+\frac 2{\sqrt 5}\)

Fertig.

Comments

Sehr elegant. Cool.

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"Dann steht auf der linken Seite" Was für eine linke Seite ?

Verstehe das null.

Egal, die anderen beiden haben mir schon geholfen.

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@Hephaistos
Auf der linken Seite deiner gegebenen Gleichung.

Ersetze dort den Wurzelausdruck durch \(\cos x\). Das dürfte nicht allzu schwer sein.

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Aha, schon besser.

Man muss sich nur richtig ausdrücken.

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@Hephaistos

Man muss nur mitdenken ... und vielleicht nochmal in die selbst gepostete Aufgabe schauen.
:-D

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deswegen notfalls immer richtig ausdrücken

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Müsste nicht erst geprüft werden, ob der Wert des zu substituierenden Terms zwischen -1 und +1 liegt?

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Interessante Frage. Man muss halt bei der Antwort auch mitdenken.

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@MonthyPython
Vollkommen korrekt. Und das ist sehr leicht zu prüfen.

Solche Dinge überlasse ich gern dem geneigten Leser.

Vollständig ausgewalzte Lösungen und Rechnungen, die dem Leser komplett das Denken abnehmen, wirst du hier von mir selten sehen.

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Die Wurzel ist positiv und der Radikand ganz offensichtlich kleiner als 16.

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"Vollständig ausgewalzte Lösungen und Rechnungen, die dem Leser komplett das Denken abnehmen, wirst du hier von mir selten sehen." genau wie ausgezeichnete beste Antworten. Viel Erfolg auch weiterhin auf der Plattform.

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@Apfelmännchen
Für manche hier sind solche Überlegungen schon zu viel verlangt.

Auch bei knapp formulierten Lösungen den direkten Bezug zur eigenen Frage zu erkennen, scheint einige ebenfalls zu überfordern.

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jetzt wird er noch frech

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@Hephaistos: Was ist eigentlich dein Problem? Mit seiner Aussage hat er ja nicht ganz Unrecht. Damit meint er aber sicherlich nicht ausgerechnet dich. Es ist nun mal so, dass die meisten Leute hier kein Stück über ihre eigene Frage nachdenken und man ihnen gleich die vollständige Lösung auf dem Silbertablett servieren muss. Es gibt eben Helfer, die davon Abstand nehmen und das finde ich auch vollkommen in Ordnung. Bei Verständnisproblemen kann man in den Kommentaren ja immer noch nachhaken. Für mich war seine Antwort vollkommen in Ordnung und ich fand den trigonometrischen Ansatz auch recht elegant. Die Rechnung ist ja wesentlich kürzer als die beiden anderen Varianten.

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Vollkommen korrekt. Und das ist sehr leicht zu prüfen.
Solche Dinge überlasse ich gern dem geneigten Leser.

Ein Hinweis darauf wäre schon fair. ;-)

Naja, deine Lösung ist ja aber auch so exotisch, dass die wenigsten Leute darauf kommen würden.