Mit Eulerschen Zahl e Grenzwerte bestimmen

Question

Hallöle,

folgende Aufgabe wurde mir gestellt:

$$\text{Nutzen Sie die Definition der Eulerschen Zahl e, um die Grenzwerte der folgende konvergerenden Folgen zu berechnen:}\\\text{I) } ((\frac{n}{n+1})^n)_{n \geq 1}\\\text{II) } ((\frac{n}{n-1})^\frac{n}{2})_{n \geq 1} \\\text{III) } ((\frac{n^2+2n+1}{n^2})^n)_{n \geq 1} \\\text{IV) } ((\frac{n^2+1}{n^2-2})^{n^2-2})_{n \geq 1} \\\text{V) } ((1+\frac{3}{n+2})^{3n-6})_{n \geq 1}$$

Was ich nicht so ganz verstehe ist, was ich genau mit diesen Folgen machen soll und vorallem im Bezug zur Eulerschen Zahl e. Also ich weiß, dass e = $$(1+\frac{1}{n})^n$$ ist, aber was soll mir das bei den Folgen genau bringen? Stehe da ein wenig auf dem Schlauch.

Vielen Dank im Voraus :)

Answer 1

Aloha :)

Aus dem Unterricht ist bekannt, dass \(\;\green{\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e}\;\) gilt. Entscheidend ist hier, dass der Exponent \(n\) und der Nenner \(n\) beide gleich sind und gegen unendlich gehen. Du kannst beide auch durch jeden anderen Term ersetzen, der für \(n\to\infty\) monoton gegen \(\infty\) geht, z.B.$$\small\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{2023n}\right)^{2023n}=e\quad;\quad \lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n^7}\right)^{n^7}=e\quad;\quad \lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{\sqrt n}\right)^{\sqrt n}=e$$

Damit kannst du die Aufgaben dann etwa wie folgt angehen:

$$\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\left(\frac{1}{\frac{n+1}{n}}\right)^n=\left(\frac{1}{1+\frac1n}\right)^n=\frac{1}{\left(1+\frac1n\right)^n}\to\frac1e$$

$$\left(\frac{n}{n-1}\right)^{n/2}=\left(\frac{(n\pink{-1})\pink{+1}}{n-1}\right)^{n/2}=\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n/2}=\sqrt{\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^n}$$$$\phantom{\left(\frac{n}{n-1}\right)^{n/2}}=\sqrt{\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}\cdot\left(1+\frac{1}{n-1}\right)}\to\sqrt{e\cdot(1+0)}=\sqrt e$$

$$\left(\frac{n^2+2n+1}{n^2}\right)^n=\left(\frac{(n+1)^2}{n^2}\right)^n=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{2n}=\left(\left(1+\frac1n\right)^n\right)^2\to e^2$$

$$\left(\frac{n^2\pink{+1}}{n^2-2}\right)^{n^2-2}=\left(\frac{(n^2\pink{-2})\pink{+3}}{n^2-2}\right)^{n^2-2}=\left(1+\frac{3}{n^2-2}\right)^{n^2-2}=\left(1+\frac{1}{\frac{n^2-2}{3}}\right)^{n^2-2}$$$$\phantom{\left(\frac{n^2+1}{n^2-2}\right)^{n^2-2}}=\left(\left(1+\frac{1}{\frac{n^2-2}{3}}\right)^{\frac{n^2-2}{3}}\right)^3\to e^3$$

$$\left(1+\frac{3}{n+2}\right)^{3n\pink{-6}}=\left(1+\frac{1}{\frac{n+2}{3}}\right)^{(3n\pink{+6})\pink{-12}}=\frac{\left(1+\frac{1}{\frac{n+2}{3}}\right)^{3n\pink{+6}}}{\left(1+\frac{1}{\frac{n+2}{3}}\right)^{\pink{12}}}=\frac{\left(1+\frac{1}{\frac{n+2}{3}}\right)^{\frac{n+2}{3}\cdot9}}{\left(1+\frac{1}{\frac{n+2}{3}}\right)^{12}}$$$$\phantom{\left(1+\frac{3}{n+2}\right)^{3n\pink{-6}}}=\frac{\left(\left(1+\frac{1}{\frac{n+2}{3}}\right)^{\frac{n+2}{3}}\right)^9}{\left(1+\frac{1}{\frac{n+2}{3}}\right)^{12}}\to\frac{e^9}{(1+0)^{12}}=e^9$$

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Wow, vielen vielen Dank für diese ausführliche Antwort!!

Answer 2

Hallo,

ich rechne mal i) und iii) vor. Die anderen sollten ähnlich zu lösen sein. Ziel ist es, die Folgen so umzuformen, dass du die Folge \(a_n=(1+\frac1n)^n\) oder Teilfolgen davon darin erkennst und die Grenzwertsätze anwendest:

i) \(\left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \left(\frac{1}{\frac{n+1}{n}}\right)^n = \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} \to \frac1e, \quad n\to\infty\).

iii) \(\left(\frac{n^2+2n+1}{n^2}\right)^n = \left(\frac{(n+1)^2}{n^2}\right)^n = \left( 1+\frac1n\right)^{2n} =\left(\left( 1+\frac1n\right)^n\right)^2 \to e^2, \quad n\to\infty. \)

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Achso! Dankeschön! :)

Answer 3

z.B. \( ( \frac{n}{n+1})^n = ( \frac{1}{\frac{n+1}{n}})^n = \frac{1}{(\frac{n+1}{n})^n}= \frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}  \)

Also Grenzwert 1/e.

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Alles klar, vielen Dank :)

Answer 4

Hallo

du musst umformen um auf (1+1/n) oder 1+1/n^2 zu kommen.

in den meisten Fällen Zähler und Nenner durch n oder n^2 teilen , bei 3 etwa im Zähler (1+n)^2 erkennen  usw. also mach dich mal ans Geschicke umformen, die Schwierigkeit ist aufsteigend, bei I noch ganz leicht einfach 1/e

Gruß lul

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Alles klärchen, vielen Dank! :)

Answer 5

1.n/(n+1) = (n+1-1)/(n+1) = 1 - 1/(n+1) -> lim = e^-1

2. = [(1 + 1/(n-1))^n]^(1/2) = e^(1/2)