Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,

Question

Hallo liebe Community, mir fehlt bei der Aufgabe hier leider jeglicher Ansatz. könntet ihr mir bitte helfen?

Auf einem Markt von 100 Unternehmen befinden sich 10 innovative Unternehmen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Kartell von 4 Unternehmen mindestens die Hälfte der Unternehmen innovativ sind? Dabei sei angenommen, dass innovative Unternehmen dieselbe Neigung zur Kartellbildung haben wie
nichtinnovative.

Answer 1

Um hier mit der Binomialverteilung zu arbeiten, ist die Grundgesamtheit vom 100 eigentlich recht klein. Man kann es direkt über "Ziehen ohne Zurücklegen" machen:

Das ergibt dann $$1-\frac{90}{100} \cdot \frac{89}{99} \cdot \frac{88}{98} \cdot\frac{87}{97} -4\cdot\frac{90}{100} \cdot \frac{89}{99} \cdot \frac{88}{98} \cdot\frac{10}{97} \approx 4,8769\, \%.$$

Alternativ über die hypergeometrische Verteilung:

$$1-\frac{\binom{10}{0}\binom{90}{4}}{\binom{100}{4}}-\frac{\binom{10}{1}\binom{90}{3}}{\binom{100}{4}} $$

Das Ergebnis ist dasselbe.

Comments

Ich bin davon ausgegangen, dass es sich um einen Durchschnittwert handelt, dass also von 100 im Schnitt 10 innovativ sind. Ich weiß im Nachhinein nicht, ob diese Deutung möglich war. Der Wert 10% spricht gegen BV, die man bei bis 5% anwenden kann, wenn icn mich recht erinnere.

Answer 2

n= 4, p = 0,1

P(X>=2) = 1-P(X<=1) = 1- P(X=0) -P(X=1) = 1- 0,9^4- 4*0,1*0,9^3

oder:

P(X>=2) = P(X=2)+P(X=3)+P(X=4), ist etwas aufwändiger

Comments

Super, danke. Das weicht leicht vom Musterwert von 0.048 ab, aber deine Rechnung macht Sinn

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0,0486

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm

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Wo nimmst du die her? Wenn ich für die binomialverteilung 0,1 4 und eins einsetze bin ich bei den 0,0523

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Schau mal, was genau du einsetzen musst. Ich habe dir beide Varianten oben aufgeschrieben.

Was genau hast du gerechnet?

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Also wenn ich 1- P( x<=1) berechne,  erhalte ich:

1-0,9477 und das ist 0,0523.

Und selbst wenn ich jetzt zwei einsetze und bei x>=2 schaue erhalte ich 0,0523

0,0486 würde ich doch nur dann erhalten, wenn ich sagen würde: genau 2 sind innovativ. Hier ist ja aber die Frage nach mindestens 2

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Sorry, ich habe den falschen Wert kopiert, den für P(X=2)

Richtig ist: 0,0523

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Die BV liefert hier nur eine grobe Näherung. Daher die Abweichung zur Musterlösung.