Wie kann man möglichst elegant umformen?

Question

Wie kann man möglichst elegant von

\( \frac{1}{6} \)n(n+1)(2n+1)+\( (n+1)^{2} \)

zu

\( \frac{1}{6} \)(n+1)(n+2)(2n+3)

umformen?

Answer 1

Aloha :)

$$\phantom=\frac16n(n+1)(2n+1)+(n+1)^2=\frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}$$$$=(n+1)\cdot\frac{n(2n+1)+6(n+1)}{6}=(n+1)\cdot\frac{2n^2\blue{+n+6n}+6}{6}$$$$=(n+1)\cdot\frac{(2n^2\blue{+4n})+(\blue{3n}+6)}{6}=(n+1)\cdot\frac{2n\green{(n+2)}+3\green{(n+2)}}{6}$$$$=(n+1)\cdot\frac{\green{(n+2)}(2n+3)}{6}=\frac16(n+1)(n+2)(2n+3)$$

Answer 2

Hier noch verspätet eine andere Variante:

\(\frac 16n(n+1)(2n+1)+(n+1)^2= \frac16(n+1)(n(2n+1) + 6(n+1))\)

\(=\frac 16(n+1)(2n^2+7n+6)\)

Wie spaltet man einen quadratischen Ausdruck wie \(2n^2+7n+6\) in Linearfaktoren auf?

Man hält Ausschau nach einer Nullstelle. \(n=-2\) ist schnell gefunden. Wir haben also den Linearfaktor \(n+2\) und erhalten den zweiten Linearfaktor durch

\((2n^2+7n+6) : (n+2) = 2n+3 \). Also

\(\frac 16(n+1)(2n^2+7n+6) = \frac 16(n+1)(n+2)(2n+3)\)