Vereinfachung Bruch mit ln

Question

Ließe sich dieser Term mit *(ln/ln) vereinfachen?

Und müsste ich dann den gesamten Nenner bzw Zähler in die Funktion aufnehmen oder könnte ich nur die einzelnen Summanden miteinbeziehen?

Answer 1

Setze e^x=z und erweitere mit z. Integriere nach z mittels Partialbruchzerlegung:

Unbestimmtes Integral -\( \frac{9}{2} \) ·ln(z-1) - \( \frac{5}{2} \) ·ln(z+1)+4·ln(z)

und resubstituiere.

Answer 2

Aloha :)

Du erinnerst dich an das Standard-Integral$$\int\frac{g'(x)}{g(x)}\,dx=\ln|g(x)|+\text{const}$$was man durch Ableiten nach der Kettenregel schnell verifiziert, und hast dann die Idee, den Integranden mit Brüchen zu schreiben, deren Zähler die Ableitung des Nenners ist:

$$f(x)=\frac{\green{3e^x}+4e^{-x}\red{+2}}{1-e^{2x}}$$$$\phantom{f(x)}=\frac{(\green{7e^x}\red{+7})+(4e^{-x}\green{-4e^{x}})\red{-5}}{1-e^{2x}}$$$$\phantom{f(x)}=\frac{7(e^x+1)}{(1+e^x)(1-e^x)}+\frac{4(e^{-x}-e^x)}{e^x(e^{-x}-e^x)}-\frac{5}{1-e^{2x}}$$$$\phantom{f(x)}=\frac{7}{1-e^x}+\frac{4}{e^x}-\frac{5}{1-e^{2x}}$$$$\phantom{f(x)}=\frac{(7\green{-7e^x})\green{+7e^x}}{1-e^x}+4e^{-x}-\frac{(5\red{-5e^{2x}})\red{+5e^{2x}}}{1-e^{2x}}$$$$\phantom{f(x)}=\left(7+\frac{7e^x}{1-e^x}\right)+4e^{-x}-\left(5+\frac{5e^{2x}}{1-e^{2x}}\right)$$$$\phantom{f(x)}=2-7\cdot\frac{(-e^x)}{1-e^x}+4e^{-x}+\frac52\cdot\frac{(-2e^{2x})}{1-e^{2x}}$$

Das gesuchte Integral ist daher:$$F(x)=2x-7\ln|1-e^x|-4e^{-x}+\frac52\ln\left|1-e^{2x}\right|+\text{const}$$