Wirtschaftsmathematik (Typ2 Aufgabe)

Question

Ein Hersteller erzeugt und verkauft monatlich x Mengeneinheiten (ME) eines Produktes. Dabei ergeben sich die Kosten K(x), der Erlös E(x) und der Gewinn G(x). Die zugehörigen Funktionen sind in der Abbildung dargestellt.

Aufgabe:

a) 1) Beschriften Sie die Graphen mit K, E bzw. G!
2) Ermitteln Sie die Fixkosten sowie die Produktionskosten für jedes zusätzlich produzierte
Stück und geben Sie eine Termdarstellung der Kostenfunktion K an!
b) 1) Die Erlösfunktion E ist eine Polynomfunktion vom Grad 2. Geben Sie eine Termdarstellung dieser Funktion an und deuten Sie die Stelle x, für die E'(x) = 0 gilt, im Kontext!
2) Geben Sie eine Termdarstellung der Gewinnfunktion G an und berechnen Sie, für welche monatlichen Produktionsmengen der Hersteller einen positiven Gewinn erzielt!

Bitte helft mir bei allen Nummern! Also die ersten beiden hab ich eigentlich verstanden, aber brauche unbedingt Hilfe + Erklärung für Nummer b) 1&2

Glg

Comments

Was ist bei Dir eine Aufgabe vom "Typ 2"?

Answer 1

Bei b1) kann man sich überlegen, ob und wenn ja weshalb die Preiselastizität der Nachfrage dort 1 ist.

Comments

Ich lese auf der grünen Kurve die drei Punkte (0 | 0), (400 | 0) und (200 | 4500) ab. Aus der Lösung des Gleichungssystems

\( \begin{array}{l}a \cdot 0^{2}+b \cdot 0 + c =0 \\ a \cdot 400^{2}+b \cdot 400 +c=0 \\ a \cdot 200^{2}+b \cdot 200+c=4500\end{array} \)

folgt die Erlösfunktion E(x) = -9/80 x² + 45x

und aus der Lösung der Gleichung -9/80 x² + 45x = x*(d - d/400 x) [Erlös = Menge mal Preis] folgt der Prohibitivpreis d = 45 und die inverse Nachfragefunktion

p(x) = 45 - 45/400 x

und die Nachfragefunktion

x(p) = 400/45(45-p) = 400 - 400/45 p

Die Preiselastizität der Nachfrage gleichgesetzt mit dem von mir in der Antwort genannten Wert ergibt die Gleichung

η = x'(p) * p / x = -400/45 * (45 - 45/400 x) / x = -1

d.h. x = 200.

Das bedeutet, dass ab einem Absatz ab 200 Stück der Preis stärker sinkt als die Menge zunimmt, der Erlös also trotz Mengenausweitung wieder sinkt, und dass bis zu einem Absatz von 200 Stück die Menge stärker steigt als der Preis sinkt, der Erlös also zunimmt. Darum hat E(x) ein Maximum bei x = 200. Nach dieser "Deutung im Kontext" ist gefragt worden.

Für b2) suche die Nullstellen von G(x) = E(x) - K(x). Sie begrenzen den blauen Bogen in der Abbildung.

Answer 2

b1) Scheitelpunktform ausnutzen und aufstellen. Überlege mal, an welcher Stelle die Ableitung gleich 0 ist.

b2) Gewinn = Erlös - Kosten. Stelle also auch die Kostenfunktion auf. Ansatz \(K(x) =mx+b\).

Answer 3

b) 1) Die Erlösfunktion E ist eine Polynomfunktion vom Grad 2. Geben Sie eine Termdarstellung dieser Funktion an und deuten Sie die Stelle x, für die E'(x) = 0 gilt, im Kontext!

Scheitelpunktform der Parabel

E(x) = -4500/200^2·(x - 200)^2 + 4500
E(x) = -0.1125·x^2 + 45·x

E'(x) = 0 ist die notwendige Bedingung für den Extrempunkt. Hier ist also die Erlösmaximale Absatzmenge gefragt.

b) 2) Geben Sie eine Termdarstellung der Gewinnfunktion G an und berechnen Sie, für welche monatlichen Produktionsmengen der Hersteller einen positiven Gewinn erzielt!

K(x) = 10·x + 500

G(x) = (45·x - 0.1125·x^2) - (500 + 10·x)
G(x) = - 0.1125·x^2 + 35·x - 500

Gewinnzone

G(x) = - 0.1125·x^2 + 35·x - 500 > 0 --> 15.0 < x < 296.1