Äquivalenzrelation und Rationalzahlen

Question

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Aufgabe 42:
\( Z:(a, b) \sim(c, d) \Leftrightarrow a d=b c \) ist aut \( \mathbb{Z} \times \mathbb{N} \) als eine Äquivalenzrelation definiert (cesas sind Äquinalenz ulasen)

Beweis: \( (\Longleftarrow) \)
\( \begin{array}{l} \xrightarrow{\text { Definiton }} \frac{c}{d} \in\left[\frac{a}{b}\right] \wedge \frac{a}{b} \in\left[\frac{c}{d}\right] \stackrel{\text { Def. }}{\longrightarrow} \frac{c}{d} \sim \frac{a}{b} \wedge \frac{a}{b} \sim \frac{c}{d} \\ \Longrightarrow \frac{a}{b} \triangleq(a, b) \sim(c, d) \triangleq \frac{c}{d} \Longrightarrow(a, b) \sim(c, d) \vee \\ \end{array} \)

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Ich hätte zwei Fragen:

1. Habe ich die Aufgabe richtig gemacht, also die eine Richtung des Beweises?

2. Wie würde ich die andere Richtung machen?

Answer 1

Ich habe keine Ahnung, was du da machst, aber um eine Äquivalenzrelation nachzuweisen, sind die Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie und Transitivität zu zeigen. Bitte einmal nachschlagen.

Comments

Das was ich machte ist die Rückrichtung und da hab ich ja keine Relationseigenschaft, das soll ich ja nachweisen. Kann man das denn so nicht machen?

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Nein, das macht man nicht so. Das ist ja nur die Definition der Äquivalenz. Man schreibt dazu auch gelegentlich \(:\!\Leftrightarrow\). Eine ÄR liegt vor, wenn man die oben genannten Eigenschaften nachgewiesen hat.

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Okay und wie würde man das in dem Falle tun?

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Suche die Eigenschaften heraus.

Zeige \((a, b)\sim(a, b) \) und \((a, b) \sim (c, d) \Rightarrow (c, d) \sim(a, b) \) (für alle Elemente aus der Relation) und dann gibt es noch eine dritte Eigenschaft.

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Wenn ich das gezeigt habe, wie kann ich denn dann daraus die rechte Seite schlussfolgern?

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Das ist immer noch eine DEFINITION. Das sollst du nicht Zeigen. Das heißt: zwei Elemente \((a, b) \sim(c, d) \) (stehen in Relation), wenn \(ad=bc\) gilt.

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Verstehe, dankeschön