Lineare Unabhängigkeit der Vektoren

Question

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Aufgabe 3-1 3P
Man prüfe, ob die Vektoren \( v_{1}, v_{2}, v_{3} \) in \( \mathbb{R}^{4} \) linear unabhängig sind, wenn:
(a) \( v_{1}=(1,1,-1,0)^{T}, v_{2}=(0,-1,1,-2)^{T} \) und \( v_{3}=(3,1,-1,-4)^{T} \)
(b) \( v_{1}=(1,1,-1,0)^{T}, v_{2}=(0,-1,1,-2)^{T} \) und \( v_{3}=(3,-1,-1,-4)^{T} \)

Answer 1

Aloha :)

Bei der Prüfung von Vektoren auf lineare Abhängigkeit ist oft die Bestimmung der Determinante die schnellste Methode. Hier haben wir jedoch nur 3 Vektoren mit jeweils 4 Koordinaten vorliegen. Damit erhalten wir keine quadratische Matrix, sodass die Determinante nicht definiert ist.

Wir rechnen mit Hilfe elementare Spaltenumformungen eventuell vorhandene lineare Abhängigkeiten aus den 3 Vektoren heraus und schauen, wie viele Basisvektoren am Ende übrig bleiben. Unser Ziel ist es, so viele Zeilen wie möglich zu erhalten, die aus lauter Nullen und höchstens einem Wert ungleich Null bestehen:

$$\begin{array}{rrr}& & -3\cdot S_1\\\hline1 & 0 & 3\\1 & -1 & 1\\-1 & 1 & -1\\0 & -2 & -4\end{array}\to\begin{array}{rrr}+S_2& \cdot(-1)& -2\cdot S_2\\\hline1 & 0 & 0\\1 & -1 & -2\\-1 & 1 & 2\\0 & -2 & -4\end{array}\to\begin{array}{rrr}\vec b_1 & \vec b_2 & \\\hline\pink1 & 0 & 0\\0 & \pink1 & 0\\0 & -1 & 0\\-2 & 2 & 0\end{array}$$

Wir haben den Vektor in der letzten Spalte "verloren", d.h. er kann durch die beiden anderen linear kombiniert werden. Anhand der ersten und der letzten Koordinate sind auch die Linearfaktoren sofort klar:$$\left(\begin{array}{r}3\\1\\-1\\-4\end{array}\right)=3\cdot\left(\begin{array}{r}1\\1\\-1\\0\end{array}\right)+2\cdot\left(\begin{array}{r}0\\-1\\1\\-2\end{array}\right)$$Die 3 Vektoren sind also linear abhängig.

Im zweiten Beispiel hat die 2-te Komponente des letzen Vektors ein anderes Vorzeichen.

Das verändert die Rechnung wie folgt:$$\begin{array}{rrr}& & -3\cdot S_1\\\hline1 & 0 & 3\\1 & -1 & -1\\-1 & 1 & -1\\0 & -2 & -4\end{array}\to\begin{array}{rrr}+S_2& \cdot(-1)& +4\cdot S_2\\\hline1 & 0 & 0\\1 & -1 & -4\\-1 & 1 & 2\\0 & -2 & -4\end{array}\to\begin{array}{rrr} & -\frac12\cdot S_3& \div(-2)\\\hline\pink1 & 0 & 0\\0 & \pink1 & 0\\0 & -1 & -2\\-2 & 2 & 4\end{array}$$$$\to\begin{array}{rrr} & -\frac12\cdot S_3& \div(-2)\\\hline\pink1 & 0 & 0\\0 & \pink1 & 0\\0 & 0 & \pink1\\-2 & 0 & -2\end{array}$$

Hier verlieren wir keinen Vektor, d.h. keiner der drei Vektoren lässt sich durch die beiden anderen linear kombinieren. Die 3 Vektoren sind also linear unabhängig.

Answer 2

Hallo

du musst doch nur zeigen, dass av1+bv2+cv3=0 nur mit a=b=c=0 möglich ist, dazu schreibe die Vektoren in eine Matrix, wenn du die soweit möglich auf Dreiecksform bringen kannst ohne, dass eine Nullzeile entsteht sind sie lin. unabhängig.

Gruß lul

Answer 3

Eine der schnellsten und meist effizientesten Methoden, die lineare (Un)abhängigkeit von Vektoren zu bestimmen, ist die Bestimmung des Rangs der zugehörigen Matrix.

Es gilt immer Zeilenrang gleich Spaltenrang gilt. Außerdem sind in (a) und (b) die Vektoren \(v_1\) und \(v_2\) dieselben. Also können wir die Rechnung "in einem Rutsch" durchführen und schreiben alle Vektoren als Zeilen in eine Matrix A:

$$A=\begin{pmatrix} v_1^T \\ v_2^T \\ v_3^T\;(a) \\ v_3^T\;(b) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 3 & 1 & -1 & -4 \\ 3 & -1 & -1 & -4\end{pmatrix}$$

Wir müssen nur das Dreifache der Zeile (1) von den Zeilen (3) und (4) abziehen:

$$\stackrel{(3)-3(1),(4)-3(1)}{\longrightarrow}\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & -2 & 2 & -4 \\ 0 & -4 & 2 &  -4\end{pmatrix}$$

Damit sind wir schon fertig. Zeile (2) und (3) sind offensichtlich Vielfache voneinander und damit linear abhängig. Zeile (4) ist kein Vielfaches der Zeile (2).

Ergebnis:
(a) \(v_1,v_2,v_3\) linear abhängig

(b) \(v_1,v_2,v_3\) linear unabhängig

Answer 4

Aufgrund der Struktur der Vektoren, kann man hier komplett ohne Matrix auskommen:

Im Falle linearer Abhängigkeit, muss nämlich \(3v_1+2v_2=v_3\) (man beachte die erste und letzte Koordinate) gelten. Es gilt aber gerade \(3v_1+2v_2=(3, 1,-1,-4)^T\). Schlussfolgerung dürfte klar sein.