Aloha :)
Wenn die drei Vektoren linear abhängig sind, kann man einen von ihnen als Linearkombination der beiden anderen Vektoren schreiben. Das heißt, bei linearer Abhängigkeit liegen die 3 Vektoren in einer Ebene und das von ihnen aufgesapnnte 3-dimensionale Volumen ist glech Null.
Über das Volumen, das drei Vektoren aufspannen, gibt ihre Determinante Auskunft, genauer gesagt der Betrag der Determinante. [Das Vorzeichen der Determinante gibt an, ob die Vektoren ein Rechts- oder ein Linkssystem bilden. Das ist hier aber nicht wichtig.]
Wir suchen hier also alle Werte von \(t\), bei denen die Determinante aus den 3 Vektoren verschwindet:
$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rrr}1 & 3 & 4\\-3 & t & 6\\4 & 2 & 6\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}\pink1 & \pink3 & \pink4\\-3+\green3\cdot\pink1 & t+\green3\cdot\pink3 & 6+\green3\cdot\pink4\\4-\blue4\cdot\pink1 & 2-\blue4\cdot\pink3 & 6-\blue4\cdot\pink4\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr}1 & 3 & 4\\0 & t+9 & 18\\0 & -10 & -10\end{array}\right|$$$$\phantom0=\pink{(-10)}\cdot\left|\begin{array}{rrr}1 & 3 & 4\\0 & t+9 & 18\\0 & \pink1 & \pink1\end{array}\right|=(-10)\cdot\left|\begin{array}{cc}t+9 & 18\\1 & 1\end{array}\right|=(-10)\cdot(t+9-18)$$$$\phantom0=(-10)\cdot(t-9)$$
Für \(t=9\) spannen die 3 Vektoren kein 3-dimensionales Volumen auf und sind daher linear abhängig.
PS: Wenn du die Determinante noch nicht kennen gelernt hast, kannst du das von den 3 Vektoren aufgespannte Volumen auch mit dem Spatprodukt \(\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)\) berechnen.
