Aloha :)
Die Sinuswelle hat allgemein die Form:$$f(x)=A\cdot\sin\left(2\pi\cdot\frac{x-c}{\lambda}\right)+S$$
zu a) Die Wellenlänge \(\lambda\) reicht vom Hochpunkt \(x_1=0\) bis zum nächsten Hochpunkt bei \(x_2=12\), also ist die Wellenlänge \(\lambda=12\).
Das Minimum der Welle liegt bei \(2\), das Maximum bei \(6\). Da führt uns auf die Amplitude \(A=2\), die um den Mittelwert \(4\) schwankt. Daher beträgt der Shift \(S=4\).
Die Sinuswelle startet normalerweise, wegen \(\sin(0)=0\), mit einem Nulldurchgang. Die Welle in der Abbildung startet jedoch mit einem Maximum und ist daher um ein Viertel der Wellenlänge nach links verschoben. Verschiebung nach links bedeutet negatives Vorzeichen, daher ist \(c=-\frac{\lambda}{4}=-3\)
Das führt uns zu der Funktionsgleichung:$$f(x)=2\sin\left(2\pi\cdot\frac{x+3}{12}\right)+4=2\sin\left(\frac\pi6\cdot x+\frac\pi2\right)+4$$
~plot~ 2*sin(2pi*(x+3)/12)+4 ; [[0|28|0|8]] ~plot~
zu b) Die Wellenlänge \(\lambda\) ist hier wieder \(\lambda=12\), weil wir von einem Minimum am 21.12. zum nächsten Minimum am folgenden 21.12. modellieren wollen.
Die Funktion ist um ein Viertel Jahr nach rechts verschoben, da die mittlere Sonneneinstrahlung zwischen dem Minimum am 21.12 und dem Maximum am 21.06. liegt, also ist \(c=3\) Monate
Der Mittelwert der gemessenen Werte liegt bei \(106,58\), um den sollte die Sinus-Funktion schwingen. Daher setzen wir den Shift auf \(S=106,58\).
Im Dezember beträgt die Abweichung vom Mittelwert \(|28-106,58|=78,58\). Im Juni beträgt die Abweichung vom Mittelwert \(|186-106,58|=79,42\). Als Amplitude wählen wir den Mittelwert dieser beiden Extremwerte \(A=79\).
Wir setzen die Parameter in die allgemeine Form von ganz oben ein und finden:$$f(x)=79\cdot\sin\left(2\pi\cdot\frac{x-3}{12}\right)+106,58$$
~plot~ 79*sin(2pi*(x-3)/12)+106,58 ; {1|38} ; {2|69} ; {3|107} ; {4|146} ; {5|175} ; {6|186} ; {7|176} ; {8|148} ; {9|104} ; {10|62} ; {11|40} ; {12|28} ; [[0|13|0|200]] ~plot~
