Erklärung von quadratische Ergänzungen

Question

Aufgabe:

.

Problem/Ansatz:

Ich weiß das man quadratische Ergänzung machen muss. Mein Problem ist aber ich versteh nicht ganz wie genau das funktioniert. Ich hab mir paar ähnliche Aufgaben hier angeschaut, aber in keiner wird das genau erklärt. Kann mir jemand das bitte erklären?

x^2+6x+y^2+4y+9 >= 0

Answer 1

Das basiert auf der binomischen Formel. Ergänze das fehlende Quadrat und subtrahiere es gleich wieder. Wegen \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) ergibt sich das zweite Quadrat aus der Hälfte des mittleren Terms ohne das \(x\) (rot).

\(x^2\green{-} \red{12}x=x^2-12x+\red{6}^2-6^2=(x\green{-}6)^2-6^2\). Beachte auch immer das zweite Vorzeichen (grün).

Answer 2

Zu x²+6x passt der am Ende stehende Summand 9. Zu y²+4y musst du noch 4 addieren und wieder subtrahieren.

Dann steht unter der Wurzel

(x+3)²+(y+2)²-4.

Answer 3

x^2 + 6x + y^2 + 4y + 9 ≥ 0

x^2 + 6x + 9 + y^2 + 4y ≥ 0

x^2 + 6x + 9 + y^2 + 4y + 4 - 4 ≥ 0

(x + 3)^2 + (y + 2)^2 - 4 ≥ 0

(x + 3)^2 + (y + 2)^2 ≥ 2^2