Erläuterung, wie man auf die Lösung 'π' kommt? Nach Anwendung von "L'Hospital"

Question

Aufgabe:

lim
x→0

\( \frac{sin(π*x)}{ln(x + 1)} \)

Problem/Ansatz:

Nach dem Ableiten von Zähler als auch Nenner komme ich auf 1.

Könntet ihr mir bitte erläutern, wie man auf die Lösung 'π' kommt?

Vielen Dank!

Answer 1

Aloha :)

Leite Zähler und Nenner unter der Verwendung der Kettenregel ab:$$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin(\red{\pi\cdot x})}{\ln(\green{x+1})}\stackrel{(\text{L'Hospital)}}{=}\lim\limits_{x\to0}\frac{\overbrace{\cos(\red{\pi\cdot x})}^{\text{äußere Abl.}}\cdot\overbrace{\red\pi}^{\text{innere Abl.}}}{\underbrace{\frac{1}{\green{x+1}}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\green1}_{\text{innere Abl.}}}=\frac{\overbrace{\cos(0)}^{=1}\cdot\pi}{\frac{1}{0+1}\cdot1}=\pi$$

Answer 2

sin(x*pi) -> pi*cos(pi*x)

ln(1+x) ->  1/(1+x)

pi*cos0/ (1/(1+0) =  pi/1 = pi

Es gilt: sin(a x) wird abgeleitet zu a*cos(ax)

Answer 3

$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(\pi \cdot x)}{\ln(x + 1)} \newline \text{L'Hospital} \newline = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\pi \cdot \cos(\pi \cdot x)}{\frac{1}{x + 1}} \newline = \frac{\pi \cdot \cos(\pi \cdot 0)}{\frac{1}{0 + 1}} \newline = \frac{\pi}{1} \newline = \pi$$