Zahlenfolge monoton, konvergent oder beschränkt

Question

Aufgabe:

{a_n}_n∈ℕ mit a_n := cos($\frac{π}{2}$n)

Problem/Ansatz:

ist diese Zahlenfolge Monoton, Konvergent oder Beschränkt

was ist es und wie gehe ich vor um es herauszufinden.

Answer 1

Der cos bewegt sich zw. -1 und 1 mit der Periode 2*pi.

cos(pi/2) = 0, cos(2/2*pi) = -1, cos(3/2*pi) = 0

Die Folgeglieder sind : 0, -1, 0, 1, 0, usw.

Comments

Also denke ich es ist eine konvergente und beschränkte Zahlenfolge.

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Die Potenzreihen für Sinus und Cosinus erweisen sich mittels Quotientkriterium als absolut konvergent für alle x ∈ . Setzt man reelle Argumente x in diese Reihen ein, erhält man auch reelle Werte

https://user.informatik.uni-bremen.de/~michaelh/Lehrveranstaltungen/…

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Was hat das mit der Frage zu tun?

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Betrachte es als Zusatzinfo.

Answer 2

hallo

ob das monoton, konvergent beschränkt ist kannst du doch leicht sehen, indem du n=1,2,3,4 einsetzt und dann den weiteren Verlauf leicht siehst?

man muss an so was einfach mal rangehen indem man experimentiert!

Gruß lul

Comments

Also denke ich es ist eine konvergente und beschränkte Zahlenfolge.

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Hallo

kannst du mal die paar ersten Folgenglieder nennen? und gegen was soll die Folge denn konvergieren? egal was in cos steht der ist natürlich beschränkt!

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0,-1,0,1,0,-1,0,1

ja macht sinn das sie nicht konvergent ist und nur beschränkt

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Na endlich!

lul

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aber warum ist es nicht monoton es bleibt ja immer im selben Bereich

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Hallo

monoton heisst  immer  steigend oder immer fallend oder konstant.

Wie definierst du denn monoton?

lul

Answer 3

Aloha :)$$a_n=\cos\left(\frac\pi2\cdot n\right)=\left\{\begin{array}{cl}(-1)^{\frac n2} & \text{falls \(n\) gerade}\\0 & \text{falls \(n\) ungerade}\end{array}\right.$$

Die Folge $(a_n)$ ist nicht monoton, denn:$$a_1=0\;;\;a_2=-1\;;\;a_3=0\implies a_1>a_2\;;\;a_2<a_3$$

Die Folge $(a_n)$ ist beschränkt, denn $-1\le a_n\le1$ für alle $n\in\mathbb N$.

Die Folge $(a_n)$ ist nicht konvergent, denn sie hat 3 Häufungspunkte $(-1), (+1), 0$.