Gegeben ist das lineare Gleichungssystem mit einem Parameter p \in \mathbb{R}

Question

Aufgabe:

Gegeben ist das lineare Gleichungssystem mit einem Parameter $p \in \mathbb{R}$ :
$\begin{array}{rl} x+3 y+6 z & =2 \\ -2 \cdot x+8 y & 3 \\ p \cdot x+6 y+8 z & =8 \end{array}$

Geben Sie an, für welche Werte von $p$ dieses LGS eine eindeutige Lösung besitzt.
$p \neq$

Bitte kann mir jemand hier die Lösung nenne ? Vielen Dank im Voraus:**

Answer 1

Aloha :)

Das Gleichungssystem hier kannst du wie folgt schreiben:$$\underbrace{\left(\begin{array}{rrr}1 & 3 & 6\\-2 & 8 & 0\\p & 6 & 8\end{array}\right)}_{=\mathbf A}\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}_{=\vec x}=\underbrace{\begin{pmatrix}2\\3\\8\end{pmatrix}}_{=\vec b}$$

Es ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Matrix $\mathbf A$ invertierbar ist: $\;\vec x=\mathbf{A}^{-1}\cdot\vec b$.

Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich Null ist:

$$0\stackrel{!}{\ne}\left|\begin{array}{rrr}1 & 3 & 6\\-2 & 8 & 0\\p & 6 & 8\end{array}\right|=6\cdot\left|\begin{array}{rr}-2 & 8\\p & 6\end{array}\right|+8\cdot\left|\begin{array}{rr}1 & 3\\-2 & 8\end{array}\right|=6(-12-8p)+8(8+6)$$$$\phantom0=-72-48p+112=40-48p=48\left(\frac{40}{48}-p\right)=48\left(\frac{5}{6}-p\right)$$

Die Determinante verschwindet für $p=\frac56$.

Für alle $p\ne\frac56$ hat das Gleichungssystem also eine eindeutige Lösung.

Answer 2

Kannst du nicht mal eine Aufgabe selbstständig rechnen? Wende das Gauß-Verfahren an und bringe die Matrix auf Zeilenstufenform. Das LGS ist eindeutig lösbar, wenn die Matrix keine Nullzeile enthält.