2. Wurzel aus komplexer Zahl

Question

Aufgabe:

\( \sqrt{-5+12i} \)

Problem/Ansatz:

Es sollen alle Werte k=0,1,2 berechnet werden. Das Ergebnis ist z₁= 2+3i und z₂= -2-3i, aber ich komme nicht dahin, da der Winkel φ invers tan (b/a)= -2,4 = -67.38° was völlig anderes ergibt.

Wo liegt mein Fehler?

Comments

Vielleicht klappt es besser, wenn du mit φ = 180° + arctan(-2,4) ≈ 112,62° rechnest.

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Für die Umwandlung immer(!) eine Skizze machen, damit man sieht, welche Variante mit arctan man braucht. Nicht blind eine Formel anwenden.

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Dankeschön für die tollen Hinweise.

Answer 1

Zunächst mal wäre das Verfahren über die Winkel ungünstig, da man hier ja keine schönen Winkel heraus bekommt. Näherungsweise geht es allerdings natürich trotzdem

r = √(5^2 + 12^2) = 13

α = 180° + ARCTAN(12/(-5)) = 112.62°

Denke daran das du zum Winkel 180 Grad addieren musst, weil der reale Anteil der komplexen Zahl negativ ist.

z1 = √13·(COS(1/2·112.62°) + i·SIN(1/2·112.62°)) = 2.000 + 3.000·i

z2 = √13·(COS(1/2·112.62° + 180°) + i·SIN(1/2·112.62° + 180°)) = -2.000 - 3.000·i

Besser wäre hier der Ansatz über den Koeffizientenvergleich

(a + b·i)^2 = a^2 - b^2 + 2·a·b·i = -5 + 12·i

2·a·b = 12 --> b = 6/a

a^2 - b^2 = a^2 - (6/a)^2 = -5 --> a = ±2

b = 6/(±2) = ±3

z1 = 2 + 3·i
z1 = - 2 - 3·i

Comments

Dankeschön! Für alle Hinweise sehr dankbar, aber Der_Mathecoach hast auf den Punkt gebracht.

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Er hats einfach nur vorgerechnet... Nicht mehr und nicht weniger.

Answer 2

Mache den Ansatz \( z^2 = - 5+12\mathrm{i} \) mit \( z = a+b \mathrm{i} \) und mache dann einen Koeffizientenvergleich (Lösung eines Gleichungssystems).

Comments

Der Ansatz führt nicht auf ein LGS.

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Stimmt, ist nicht linear. Doofe Angewohnheit, immer LGS zu schreiben. Danke, korrigiert.

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Danke, aber ich wollte Aufgabe über den periodischen Charakter dieser komplexen Zahl und die Lösung über die goniometische Form lösen.

\( \sqrt[n]{a+bi} \) = \( \sqrt[n]{r} \) [cos(\( \frac{φ}{n} +\frac{k.360°}{n}\) )+ i sin(\( \frac{φ}{n} +\frac{k.360°}{n}\) )]

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Wenn du es darüber machen willst, dann muss du 180° addieren, da \( a<0 \) und \( b > 0 \). Hier hilft auch immer eine Skizze.

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Danke Pfelmänchen! Das war ein sehr schöner und wichtiger Hinweis, da ich den Quadranten nicht so im Auge hatte! Habe die ganze Zeit mit 360° Minus im Auge gehabt.

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Habe irgendwann mal eine Frage zu Wurzeln in ℂ beantwortet.

Bei der Berechnung von φ wird statt tan cos benutzt. Dabei entfällt die Fallunterscheidung bzgl. der Quadranten

Wurzeln in C
Lösung der komplexen Gleichung \(z^n = w\)  [ n ∈ ℕ , n ≥ 2 ]
w hat dann eine der Formen
\(w =  a + i · b = r · e^{i ·φ}  =  r · ( cos(φ) + i · sin(φ) )\)  [ oder w muss in eine solche umgerechnet werden ].
Den Betrag |w| = r und das Argument φ von w kann man dann direkt ablesen oder aus folgenden Formeln berechnen:
$$ r = \sqrt{a^2 +b^2}\text{ } \text{ } und \text{ } \text{ } φ = arccos\left(\frac { a }{ r }\right) \text{ }\text{ } wenn \text{ }\text{ }b≥0$$$$ \text{ } \text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ }\text{ } \text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ }  \text{ }\text{ }\text{ } \text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ }- arccos\left(\frac { a }{ r }\right)\text{ }wenn \text{ }\text{ }b<0  .$$Ergibt sich φ negativ, kannst du einfach 2π addieren.
Die n Werte \(z_k\)  für \(z = \sqrt[n]{w}\)  erhält man mit der Indizierung k = 0,1, ... , n-1
aus der Formel $$ z_k =  \sqrt[n]{r}· \left[ \text{ }cos\left( \frac { φ_w + k · 2π }{ n } \right)+ i · sin\left( \frac { φ_w + k · 2π }{ n }\right) \right] $$
Die Eulersche Form ist jeweils $$z_k =  \sqrt[n]{r}· e^{\frac { φ + k · 2π }{ n }\text{ }·\text{ }i} $$
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Wenn du zeichnen musst:
Dann hast du den Betrag n√r und den Winkel φ0 = arccos(φw / n)  von z0 .
φ0 musst du vom Bogenmaß ins Gradmaß umrechnen [ GM =  BM · 180° / π ]
Damit kannst du den Pfeil von z0 in der komplexen Zahlenebene einzeichnen
( |z0| = Länge, φ0 = Winkel mit der positiven x-Achse).
Jetzt drehst du diesen Pfeil insgesamt (n-1)-mal immer um φ0 weiter um den Nullpunkt und erhältst die Pfeile von z1 bis zn-1
Du kannst stattdessen auch für z_k = a_k + b_k·i jeweils den Punkt (a_k | b_k)  in der komplexen Ebene eintragen und den Pfeil vom Nullpunkt aus dorthin zeichnen.
kartesische Form a + b · i   →  Polarform r · eφ·i
$$ r = \sqrt{a^2 +b^2}\text{ } \text{ }$$$$φ = arccos\left(\frac { a }{ r }\right) \text{ }\text{ } wenn \text{ }\text{ }b≥0 \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } [ \text{ } - arccos\left(\frac { a }{ r }\right)\text{ }wenn \text{ }\text{ }b<0 \text{ } ] .$$Kann man sich ganz leicht merken!

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Eine Super alternative Erklärung. Klasse! Danke!