Der Kathetensatz und Konstruktion

Question

Hallo ihr Lieben

Wir haben in Mathe mit Kathetensatz angefangen und ich kann diese Frage einfach nicht lösen. Kann mir bitte jemand helfen?

Konstruiere ein Parallelogram ABCD mit den Maßen a=6.0   ha=3,5   alpha=60°. Konstruiere dazu ein flächengleiches Quadrat. Wie lange ist eine Quadratseite?

Rechnerisch habe ich das gelöst aber ich kann es nicht konstruieren, das ist das Problem.

Vielen Dank

Answer 1

Hallo Max,

Willkommen in der Mathelounge!

Wir haben im Mathe mit kathetensatz angefangen ...

Na ja - dann weißt Du ja, dass das Quadrat über einer Kathete den gleichen Flächeninhalt hat, wie das Rechteck aus Hypotenuse und dem zugehörigen Hypotenusenabschnitt.

Wenn Du jetzt schon mal was vom Satz des Thales gehört hast und weißt, dass der Flächeninhalt des Parallelogramms nur von Grundseite und Höhe abhängt, so hast Du alles bei einander, was Du brauchst.

Zeichne die Strecke \(a=AB=6\,\text{cm}\) und darüber den Tahleskreis. Dann trage auf dieser Strecke die Höhe \(h_a=AH_c=3,5\,\text{cm}\) ab und errichte im Endpunkt dieser Strecke das Lot auf \(a\). Der Schnittpunkt des Lotes mit dem Thaleskreis sei \(C\). \(|AC|\) ist die gesuchte Seite des Quadrats.

Gruß Werner

Comments

Vielen Dank

unsere Lehrerin hat gesagt,dass wir ein parallelogram konstruieren muss und Daraus ein Rechteck machen mit den Seiten a = 6cm und zweiter Seite b = 3,5 cm.

Von der Seite a 3,5 cm als Hypotenusenabschnitt abtragen. Da eine Senkrechte errichten das ist die Höhe im rechtwinkligen Dreieck. Dann um a den Thaleskreis schlagen. Der Schnittpunkt der Höhe ist der eine, der -Anfangspunkt von a der andere Punkt der gesuchten Kathete. Die ist dann ja die gesuchte Quadratseite.

Ich habe das parallelogram konstruiert aber verstehe die andere Schritte nicht. Wie kann ich es zu ein rechteck ergänzen? und wie kann ich von der seite a 3,5cm als hypotenuseabschnitt abtragen? Was ist eigentlich hypotenuseabschnitt? Können Sie es bitte einmal zeigen?

Danke vielmals

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Bevor ich lange herum erkläre, eine Frage vorneweg:

Ist Dir bekannt wie

- eine Senkrechte

- eine Mittelsenkrechte

- eine Parallele

konstruiert wird? ‚Konstruieren‘ bedeutet, dass nur mit Zirkel und Lineal (ohne Geodreieck) gezeichnet wird.

Melde mich voraussichtlich heute Abend wieder.

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Ich habe das Parallelogram konstruiert aber verstehe die andere Schritte nicht. Wie kann ich es zu einem Rechteck ergänzen?

Links abscheiden, rechts anfügen.

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Was ist eigentlich hypotenuseabschnitt?

Wenn man im rechtwinkligen Dreieck von der 'rechten' Ecke das Lot auf die Hypotenuse fällt, bzw. die Höhe einzeichnet, so teilt dieses Lot (bzw. die Höhe)  die Hypotenuse in zwei Hypotenusenabschnitte:

Die grüne Strecke ist der Hypotenusenabschnitt, der zur Kathete \(b\) und die rote ist der Abschnitt, der zur Kathete \(a\) gehört.

... und wie kann ich von der seite a 3,5cm als hypotenuseabschnitt abtragen?

Mit einem Zirkel. Messe mit dem Zirkel die Länge \(h_a\) ab, dann steche bei der Strecke \(AB\) im Punkt \(A\) ein und zeiche einen Kreis. Dieser schneidet die Strecke \(AB\) zwischen den Punkten \(A\) und \(B\) im Punkt \(H_c\).

Damit hast Du die Strecke \(h_a = 3,5\,\text{cm}\) als Strecke \(AH_c\) aufgetragen.

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Danke mehrmals ich habe es endlich verstanden Sie haben es super toll erkärt noch eine Frage wenn wir die dreick von links abschieden und nach recht anfügen is die flächeninhalt des rechteck das gleiche?

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... wenn wir die dreick von links abschieden und nach recht anfügen is die flächeninhalt des rechteck das gleiche?

Ja - das so entstandenen Rechteck hat den gleichen Flächeninhalt wie das Parallelogramm.

Du weißt sicher, dass der Flächeninhalt \(F_P\) des Parallelogramms$$F_P = a \cdot h_a$$ist. Und wenn eine Seite eines Rechtecks die Länge \(a\) und die andere die Länge \(h_a\) ist, so ist der Flächeninhalt \(F_R) des Rechtecks$$F_R = a \cdot h_a$$und damit genau so groß wie \(F_P\).

Oben kannst Du mit der Maus den Punkt \(C\) verschieben. Das Parallelogramm hat immer den gleichen Flächeinhalt, egal, wo Du den Punkt \(C\) hinschiebst.

Das gilt für alle gescherten Flächen.

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Danke mehrmals, ich habe es komplett verstanden