Zeige, dass dann det(U) ∈ {-1,1} ist.

Question

Aufgabe:

Sei U eine orthogonale Matrix.

Problem/Ansatz:

Zeige, dass dann det(U) ∈ {-1,1} ist.

Comments

Was ist die Definition für orthogonale Mstrix?

Answer 1

Aloha :)

Hier sind die Zutaten:

1) $U$ ist nach Vorassetzung orthogonal, das heißt: $U^{-1}=U^T$.

2) Für jede quadratsiche Matrix $A$ gilt: $\operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(A^T)$

3) Für zwei quadratische Matrizen $A,B$ gilt: $\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B)$.

Und hier ist die Zubereitung:$$\left(\operatorname{det}(U)\right)^2=\operatorname{det}(U)\cdot\operatorname{det}(U)\stackrel{(2)}{=}\operatorname{det}(U)\cdot\operatorname{det}(U^T)\stackrel{(1)}{=}\operatorname{det}(U)\cdot\operatorname{det}(U^{-1})$$$$\phantom{\left(\operatorname{det}(U)\right)^2}\stackrel{(3)}{=}\operatorname{det}(U\cdot U^{-1})=\operatorname{det}(\mathbf 1)=1$$Nun noch die Wurzel ziehen:$$\operatorname{det}(U)=\pm1$$