Zeige: A idempotent ⇒ det A ∈ {0, 1}

Question

Aufgabe:

Eine Matrix \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) heißt nilpotent, falls \( A^{k}=0 \) für ein \( k \in \mathbb{N} \) ist, und idempotent, falls \( A^{2}=A \) ist. Zeige:

\( A \) idempotent \( \Longrightarrow \operatorname{det} A \in\{0,1\} \);
\( A \) idempotent und \( \operatorname{det} A=1 \Longleftrightarrow A=E_{n} \).

Hinweis: \( \forall A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}: \operatorname{det}(A \cdot B)=\operatorname{det} A \cdot \operatorname{det} B \).

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?? Danke im Voraus.

Answer 1

Hallo,

zum ersten Teil:

Sei \( A \) idempotent. Nach dem Hinweis gilt

 \(\det(A) = \det(A^2)= \det(A \cdot A) = \det(A) \cdot \det(A) = \det(A)^2 \Longrightarrow \det(A) \in \lbrace{0,1\rbrace} \)

zum zweiten Teil:

Sie \( A \) idempotent und \( \det(A) = 1\), d.h. \( A \) ist invertierbar. Dann folgt

\(E_n = A^{-1} \cdot A = A^{-1} \cdot A^2 = A^{-1} \cdot A \cdot A = E_n \cdot A = A\)

Die Rückrichtung ist klar.