r orthogonalen Projektion

Question

Text erkannt:

Sei \( \mathcal{P}_{2} \) der Vektorraum aller Polynome von Grad 2 oder weniger. Verwenden Sie das Skalarprodukt
\( \langle\mathbf{f}, \mathbf{g}\rangle=\mathbf{f}(-3) \mathbf{g}(-3)+\mathbf{f}(0) \mathbf{g}(0)+\mathbf{f}(2) \mathbf{g}(2) \)
in \( \mathcal{P}_{2} \), um die orthogonale Projektion von \( \mathbf{f}=3 \mathbf{m}_{\mathbf{2}}+4 \mathbf{m}_{\mathbf{1}}-9 \mathbf{m}_{0} \) auf die Gerade \( L \), die durch \( \mathbf{g}=4 \mathbf{m}_{\mathbf{2}}-2 \mathbf{m}_{\mathbf{1}}+8 \mathbf{m}_{0} \) aufgespannt wird, zu berechnen.
Hinweis: Bei einer orthogonalen Projektion eines Vektors \( \mathbf{x} \) auf einen eindimensionalen Unterraum U mit Basisvektor \( \mathbf{b} \) vereinfacht sich die Formel zur orthogonalen Projektion zu \( \mathbf{x}_{\downarrow U}=\frac{\langle\mathbf{x}, \mathbf{b}\rangle}{\langle\mathbf{b}, \mathbf{b}\rangle} \mathbf{b} \).
\( \mathbf{f}_{\downarrow L}= \) \( \mathbf{m}_{\mathbf{2}}+ \) \( \mathbf{m}_{\mathbf{1}}+ \) \( \mathbf{m}_{0} \).

Problem/Ansatz

kann mir jemand dabei helfen die Aufgabe zu lösen? ich wäre dankbar

Comments

Die Schreibweise ist ungewohnt

da es sich um Polynome handelt ist bei euch f=3m2+4m2-9m0 das Polynom p(x)=3x^2+4x+9 oder was sind die m?

lul

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Richtig, es handelt sich um Polynome- Monome!!

Answer 1

Hallo

dann kannst du das Skalarprodukt  doch einfach durch einsetzen der Werte  von x=0, 2,-3 in g und f ausrechnen? mit |g|^2=<g,g> und die Formel steht da ja?

Was fehlt dir noch ?

Gruß lul

Comments

Hallo

ich verstehe nicht genau was du meinst, ich soll m2, m1 und m0 bestimmen in dem ich die Werte von X in g und f einsetze ? kannst du vielleicht ein Beispiel zeigen?

Gruß Sisi

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f=3x^2+4x-9 f(0)=-9;  f(2)=11 , f(-3 )=6

g=4x^2-2x+8  g(0)=8,  g(2)=20, g(-3)=50 rechne nach!

dann ist <f,g>=50*6-8*9+20*11 jetzt genauso |g| und |f| ((wurzel aus Skalarprodukt) ausrechnen   und dadurch dividieren   und mit g multiplizieren. Fertig aber das stand da doch?

lul

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Text erkannt:

\( \begin{array}{ll}f(0)=-9 & g(0)=8 \\ f(2)=11 & g(2)=20 \\ f(-3)=6 & g(-3)=50 \\ \Sigma=8 & \varepsilon=78 \\ c g \cdot g\rangle=(-9) .8+11 \cdot 20+6 \cdot 50=448 \\ c b, b)=8 \cdot 8+20 \cdot 20+50 \cdot 50=2964 \\ x \downarrow=u=\frac{448}{2564} \cdot\left(\begin{array}{l}8 \\ 20 \\ 50\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1,21 \\ 3,02 \\ 7,56\end{array}\right)\end{array} \)

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Text erkannt:

\( f(0)=-9 \quad g(0)=8 \)
\( f(2)=11 \quad g(2)=20 \)
\( f(-3)=6 \quad g(-3)=50 \)
\( \sum=8 \quad \varepsilon=78 \)
\( \langle g, g\rangle=(-9) .8+11.20+6 \cdot 50=448 \)
\( \langle b, b\rangle=8 \cdot 8+20 \cdot 20+50.50=2964 \)
\( x \downarrow=u=\frac{448}{2964} \cdot\left(\begin{array}{l}8 \\ 2 / 5 \\ 50\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1,2 / 2 \\ 3,02 \\ 7,56\end{array}\right) \)
\( =\frac{448}{2964} \cdot\left(\begin{array}{c}4 \\ -2 \\ 8\end{array}\right)=\begin{array}{c}0,6 \\ -0,3 \\ 1,21\end{array} \)

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Man muss für <b,b> g einsetzen und in das gegebene Skalarprodukt einsetzen? und davon am ende die Wurzel? das würde aber der induzierten Norm ||v|| entsprechen