Zeigen Sie, dass die Folge monoton steigend ist und Grenzwert einer Folge mit Defintionslücke

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Folge

a_n = n/(n+1)

also / = Bruchstrich halt you know

(a) Zeigen Sie, dass die Folge monoton steigend ist.

das bekomme ich hin glaube ich

da muss ich doch nur: a_n+1 > a_n

a_n+1 < a_n <- wenn ich fallend beweisen wollen würde

aber eine frage im interner stehen nicht ">" und "<", sondern "≥" und "≤" was ist richtig?

ansonsten muss man dann nur den bruch eingeben und und die ungleichungen glaube ich lösen, wenn da nichts spezielles rauskommt, dann müsste damit beweisen dass es moton steigend ist, oder?

(b) Ist a_n nach oben beschränkt? Was lässt sich also über das Konvergenzverhalten von a_n sagen? Falls a_n konvergent ist, bestimmen Sie auch den Grenzwert

Problem/Ansatz:

ich verstehe nicht ganz was bei der b mit "oben beschränkt" gemeint ist, wann ist denn eine Folge nach oben beschränkt? im internet kommt irgendwas wie a_n ≤ M das verstehe ich aber nicht :(

kann mir das jemand genauer erläutern?

und beim Konvergenzverhalten muss ich einfach direkt schauen was n->∞ ist oder? oder muss ich vorher etwas wichtig betrachten oder definieren?

lim_n->∞ a_n = lim_n->∞ n/(n+1) = 1

oder muss da noch irgendwas machen um zu zeigen dass der grenzwert 1 ist? und reicht das überhaupt alles aus?

Answer 1

n/(n+1) = (n+1-1)/(n+1) = 1- 1/(n+1)

1/(n+1) ist eine Nullfolge, der Subtrahend wird immer kleiner, die Differenz wird größer und hat den Grenzwert 1.

Answer 2

aber eine frage im interner stehen nicht ">" und "<", sondern "≥" und "≤" was ist richtig?

a(n + 1) > a(n) bedeutet streng monoton steigend.

a(n + 1) ≥ a(n) bedeutet nur monoton steigend. Hierbei dürfen die Funktionswerte auch gleich bleiben.

Wenn du zeigst, dass es streng monoton steigend ist, ist es aber auch monoton steigend.

ich verstehe nicht ganz was bei der b mit "oben beschränkt" gemeint ist, wann ist denn eine Folge nach oben beschränkt?

Eine Folge ist nach oben beschränkt, wenn alle Werte der Folge kleiner oder gleich dieser oberen Schranke sind. Es gibt also keine Werte, die darüber liegen.

und beim Konvergenzverhalten muss ich einfach direkt schauen was n->∞ ist oder? oder muss ich vorher etwas wichtig betrachten oder definieren?

Das kannst du hier so einfach machen. Beachte das alle Werte dann kleiner der oberen Schranke 1 sind sich dieser aber unendlich dicht nähern.

Skizze