Diagonalisierung von Matrizen

Question

Aufgabe:

Nachvollziehen, wieso

(Q*Matrix Lambda* Q^-1)^T ₌  Q^T * Matrix Lambda * (Q^-1)^T

Dabei ist Q eine Matrix, deren Spalten aus den Eigenvektoren bestehen, Q^-1 das Inverse von Q und (Matrix Lambda) ist eine Diagonalmatrix, deren Diagonale aus den Eigenwerten besteht.

Text erkannt:

\( Q=\left(\begin{array}{ll} v_{11} & v_{12} \\ v_{21} & v_{22} \\ v_{1} & v_{2} \end{array}=\quad A=\left[\begin{array}{ll} \lambda_{1} & 0 \\ v & \lambda_{2} \end{array}\right]\right. \)

Matrix kaun als Dingonoentatrix, ant deuran Dingonabe sier die Eigerede befinden, die sich zwischer

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht, wieso transformierte Matrix Lambda = Maxtrix Lambda sein soll.

Text erkannt:

yometrische Matizen:
\( \begin{array}{l} A^{+}=A \\ A^{\top}=\left(Q \cdot \Delta \cdot Q^{-1}\right)^{\top}=\left(Q^{-1}\right)^{\top} \cdot \Delta \cdot Q^{\top} \end{array} \)

Text erkannt:

yometrische Matizen:
\( \begin{array}{l} A^{+}=A \\ A^{\top}=\left(Q \cdot \Delta \cdot Q^{-1}\right)^{\top}=\left(Q^{-1}\right)^{\top} \cdot \Delta \cdot Q^{\top} \end{array} \)

Comments

Hier noch einmal in Textformat falls meine Frage unklar war: ich verstehe die Umformungen auf Grafik 2 nicht. Könnte mir das bitte jemand ausführlich erklären? (Vll auf Blatt Umformungen zeigen?)

Text erkannt:

8.2 Diagouldaracliung
57
Weat \( Q \) aus rwei finear unabhängigen Zeilenvektoren besteht. existiert die Umkehtma\( \operatorname{crk} Q^{-1} \) und wene wir die obige Gleichung von der rechten Seite mit \( Q^{-1} \) multiplivie: feat cithatien wir holgenden wichtigen Zusammenhang:
\( A=Q \cdot A \cdot Q^{-1} \)

Belupiel:

Text erkannt:

6.2 Diagonaldarstitiog
58
ergibe sich aus Gleichung (4) noch einfacherer Zusammenhang. Wenn wir diese Gleichung transponieren, erhalten wir
\( A^{T}=\left(Q \cdot A \cdot Q^{-1}\right)^{T}=\left(Q^{-1}\right)^{T} \cdot \Lambda \cdot Q^{T} \)

Weil die Transponierte für symmetrische Matrizen aber gteich der ursprünglichen Matrix ise, Gileichung (2), ergibe sich der Zusammenhang
\( Q \cdot \Lambda \cdot Q^{-1}=\left(Q^{-1}\right)^{T} \cdot \Lambda \cdot Q^{T} \)
aus dem wir ablesen kinnen, dars \( Q^{-1}=Q^{T} \) sein muss. Das heisst für symmetrische Matrieen mussen wir die Matrix \( Q \) nicht einmal invertieren, um eine Diagonaldarstel. lung ouerhalten:
\( A=Q \cdot \Lambda \cdot Q^{T} \)

Answer 1

Für alle Matrizen gilt \( (AB)^T=B^TA^T\). Das gilt auch bei mehreren Matrizen. Die Reihenfolge wird immer umgekehrt. Außerdem gilt \( \Lambda^T=\Lambda \), da Diagonalmatrix.

Comments

Dankeschön!!!

Hat mir sehr geholfen. Die Frage war dumm, sorry

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Hauptsache, du hast es nun verstanden. :)