Wie geht man hier vor bei der DGL?

Question

Aufgabe: Woher weiß ich, dass das Angekreuzte ein Fundamentalsystem bildet, ich weiß, dass die Determinante der Wronski Matrix ungleich 0 sein muss und das ist sie auch bei dem Angekreuzten Term, aber die Determinante ist auch ungleich, bei dem Term mit 3 Lösungen (u1, u2, u3). Aber darf eine Differentialgleichung 2.Ordnung auch nicht nur zwei Lösungen höchstens haben, deswegen müsste das Angekreuzte richtig sein, oder.

Problem/Ansatz:

Jeweils bei den ersten beiden ist Wronski Matrix ungleich null, aber nur eine Antwort ist richtig steht in der Aufgabe.

Text erkannt:

(b) Welche der folgenden Funktionen bilden ein Fundamentalsystem einer homogenen linearen Differentialgleichung 2 . Ordnung?
\( u_{1}(x)=e^{-x}, \quad u_{2}(x)=e^{2 x} \)
\( u_{1}(x)=e^{-x}, \quad u_{2}(x)=x^{2} e^{-x} \)
\( \square u_{1}(x)=e^{-x}, \quad u_{2}(x)=x e^{-x}, \quad u_{3}(x)=e^{2 x} \)
\( u_{1}(x)=e^{2 x} \)

Answer 1

Du hast hier einen Denkfehler. Du versuchst über die Wronski-Determinante zu argumentieren.

Diese Determinante sagt dir aber nur, dass die gegebenen Funktionen linear unabhängig sind.

In dieser Aufgabe geht es aber darum, die grundlegende Lösungsstruktur einer lineare homogenen DGL 2. Ordnung zu kennen.

Das charakteristische Polynom der DGL kann nur folgendes Lösungsverhalten haben:

(1) 2 verschiedene Lösungen \(\rightarrow \) angekreuzt

(2) 1 Doppellösung \(\lambda \rightarrow e^{\lambda x},\, xe^{\lambda x}\) kommt nicht vor in der Auswahl

(3) 1 Paar konjugiert komplexer Lösungen \(\rightarrow e^{bx}\cos ax,\, e^{bx}\sin ax \) kommt nicht vor in der Auswahl

Comments

Und was wäre jetzt die richtige Antwort?

Danke im Voraus

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Solltest du dir doch anhand der Antwort nun erschließen können.

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Na nur das Angekreuzte.

Answer 2

Das stimmt so. Beim zweiten passt das \( x^2 \) nicht. Schau dir nochmal die Lösungsstruktur einer solchen DGL an und welche Fälle es da gibt.