Berechne die Wahrscheinlichkeit beim zweiten Zug eine blaue Kugel zu ziehen.

Question

Aufgabe:

In einem Behälter befinden sich 5 Kugeln (2 blaue, 3 rote). Zwei werden nacheinander ohne zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit beim zweiten Zug eine blaue Kugel zu ziehen.

Problem/Ansatz:

P= 2/5*1/4+3/5*1/2=

Ich soll ja berechnen, dass beim zweiten Zug eine blauen Kugel gezogen wird.

Ich verstehe nicht warum am beginn der Ziehung schon 2/5 steht.

Kann mir bitte jemand die Aufstellung der Formel erklären, wieso sind es dann 1/4 und 1/2?

Ich stehe etwas auf der Leitung.

Answer 1

Ich verstehe nicht warum am beginn der Ziehung schon 2/5 steht

Das ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass schon beim ersten Zug eine blaue Kugel kommt. Das ist ja möglich, wenn beim zweiten Zug nochmals eine blaue Kugel gezogen wird.

Der Wahrscheinlichkeitsbaum ist:

- blau blau

- rot blau

Das 1/2 bedeutet eigentlich 2/4.

Comments

Danke

Ich habe es zuerst anders geschrieben als am Lösungszettel.

3/5*2/4+2/5*1/4

Ich verstehe jetzt aber was gemeint ist , dachte zuerst das eine blaue Kugel beim ersten Zug nicht kommt, sondern erst beim zweiten. Man kann aber nicht wissen was man zuerst zieht. Ist eigentlich egal ob man zuerst 3/5 oder 2/5 schreibt (b b) oder (r b)

das man 2/4 kürzen kann weiß ich jetzt auch :) ich selber kürze nie

Answer 2

Lege zwei Kugeln nacheinander hin. Wie viele Möglichkeiten gab es bei der zweiten Kugel und wie viele Möglichkeiten sind davon blau. Die Wahrscheinlichkeit ist nach Laplace 2/5.

Die Wahrscheinlichkeit ist also genauso groß, wie die WK als Erstes eine blaue Kugel zu ziehen.

Da braucht man eigentlich nicht die Pfadregeln auszupacken.

Stell dir vor, man hat 100 Kugeln und 20 sind blau. Jetzt werden 50 Kugeln nacheinander gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die 50. gezogene Kugel blau?

Willst du hier auch die Pfadregel nehmen? Das kann ich nicht empfehlen. An der 50 Stelle können natürlich 100 Kugeln liegen. 20 davon wären blau. Also ist die WK nach Laplace 20/100.

Comments

Danke, Ich kenne mich jetzt wieder aus :)

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Mein gesunder Menschenverstand setzt manchmal aus in Mathematik , brauche dann Erklärungen ;)

Offensichtlich hattest du ja eine Lösung, die du nur nicht verstanden hast. Aber auch dem Ersteller dieser Lösung fehlte wohl der gesunde Menschenverstand ;)

Das Problem ist manchmal auch, dass den Schülern gesagt wird, bei mehrstufigen Zufallsexperimenten sollte man an Baumdiagramme und Pfadregeln denken.

Das dieses den Schüler verleitet dann evtl. einen Baum zu malen und die Wahrscheinlichkeit damit zu berechnen ist naheliegend. Sollte man auch bei solch kleinen Bäumen mit 2 Stufen noch hinbekommen. Wie gesagt ist es trügerisch wenn man evtl. 5 oder gar 100 Stufen hat.

Hier noch mal ein Baum für genau dein Problem:

Damit berechnet sich die Wahrscheinlichkeit das die gezogene Kugel blau ist jetzt mit

P(bb, rb) = 2/5 * 1/4 + 3/5 * 2/4 = 2/20 + 6/20 = 8/20 = 2/5

Also natürlich kommt man hier auch rein durch einen Baum auf das korrekte Ergebnis.

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Ich habe zuerst mit blau angefangen

3/5 * 2/4 + 2/5 * 1/4

Es steht aber in der Angabe beim zweiten Zug ; habe glaub ich zuerst mit blau angefangen weil es mehr als rote sind :)

Ist es wichtig wie ich es zuerst anschreibe, es kommt ja das gleiche raus

Danke für den Baum, ist schon hilfreich es aufzuzeichnen

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Es steht aber in der Angabe beim zweiten Zug ; habe glaub ich zuerst mit blau angefangen weil es mehr als rote sind :)

Es sind 2 blaue und 3 rote Kugeln und damit weniger blaue als rote. Um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass die 2. Kugel blau ist, nimmst du alle Pfade bei der als 2. eine blaue Kugel gezogen wird und berechnest dafür die Wahrscheinlichkeit.

Bei dir ist 3/5 * 2/4 die Wahrscheinlichkeit zuerst eine rote und danach eine blaue Kugel zu ziehen. 2/5 * 1/4 ist die Wahrscheinlichkeit als Erstes eine blaue und danach noch eine blaue Kugel zu ziehen. Beide Wahrscheinlichkeiten addiert ergeben dann auch wieder, die Wahrscheinlichkeit das die 2. gezogene Kugel blau ist.

Bei der Addition gilt das Kommutativ- bzw. Vertauschungsgesetz. Es ist also egal, in welcher Reihenfolge man die Wahrscheinlichkeiten der Pfade addiert.

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Haha ja stimmt es sind mehr rote vorhandenen  , hätte nochmal nachzählen sollen.  Danke für die ausführliche Erklärung :)

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Danke für die ausführliche Erklärung :)

Freut mich, wenn ich helfen konnte.

Answer 3

Die 1. kann blau oder rot sein, über sie ist nichts ausgesagt, daher gibt es 2 Möglichkeiten : r b, b b

Beide Möglichkeiten bilden das gesuchte Ereignis, deren WKTen zu addieren sind.

Gesucht somit P(b b) + P(r b) = 2/5*1/4 + 3/5*2/4 =2/20 + 6/20 = 8/20 = 2/5 = 0,4 = 40%

3/5*1/2 ist falsch, weil beim 2 . Zug noch 4 Kugel vorhanden sind, von denen 3 rot sind.

Comments

Ich  habe zuerst 3/5*2/4+2/5*1/4  geschrieben P(r b) + P (b b)

In der Lösung steht 3/5*1/2 , war deshalb etwas iritiert , 2/4 wurde aber nur gekürzt. Ich selber kürze nie.

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Im Gekürze liegt die Würze. :)

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3/5*1/2 ist falsch, weil beim 2 . Zug noch 4 Kugel vorhanden sind, von denen 3 rot sind.

Nicht, wenn schon eine rote Kugel gezogen wurde. Das passt schon alles so. Wurde ja jetzt auch mehrfach geklärt, dass nur gekürzt wurde. Dass dann immer noch als falsch abzutun...

Answer 4

Ich fasse einige gegebene Lösungen kurz zusammen:

Baum:

$$\begin{array}{rcccc} Start & \stackrel{\frac 25}{\rightarrow} & B & \stackrel{\frac 14}{\rightarrow} & B \\ {\footnotesize \frac 35}\downarrow &&&&  \\ R &\stackrel{\frac 24}{\rightarrow} & B && \end{array}$$

Gesunder Menschenverstand (Laplace):

Jede Kugel hat dieselbe Wahrscheinlichkeit, an zweiter Stelle gezogen zu werden: \(\frac 15\). Daher ist

\(P(\)zweite Kugel blau\()=\frac 25\)

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Danke

Mein gesunder Menschenverstand setzt manchmal aus in Mathematik , brauche dann Erklärungen ;)