Wie kommt man auf die Lösungen (a, b und c)

Question

Aufgabe:

Wie kommt man auf die Lösungen (a, b und c)

Problem/Ansatz:

(I): a + b*0 + c*0² = 0

(II): a + b*(L/2) + c*(L/2)² = 0,001

(III): a + b*L + c*L² = 0

Die Lösungen sind gegeben:

a = 0

b = 0,004/L

c = -0,004/L

Comments

Die Lösung a = 0 steht ja bereits in der Gleichung (I).

Answer 1

\(a=0\) folgt unmittelbar aus der ersten Gleichung. Das kann man dann in die zweite und dritte Gleichung einsetzen. Übrig bleiben dann die Gleichungen

ii) \( b\cdot \frac{L}{2}+c\cdot \left(\frac{L}{2}\right)^2=0{,}001\) und

iii) \( b\cdot L + c\cdot L^2=0\).

Löst man iii) nach \(b\) auf, hat man \( b = -cL\). Eingesetzt in ii) erhält man:

\( -c\frac{L^2}{2}+c\cdot \frac{L^2}{4}=0{,}001\) und das nach \( c\) aufgelöst ergibt \(-\frac{L^2}{4}c=0{,}001\) bzw. \(c=-\frac{0{,}004}{L^2}\).

Damit folgt dann \(b=-cL=\frac{0{,}004}{L}\).

Die Lösung ist also nicht korrekt angegeben worden.

Answer 2

Woher kommt denn der umständliche Ansatz?

Hier soll eine quadratische Funktion

\(q(x) =cx^2+bx+a\)

durch folgende Punkte gefunden werden:

\((0,0),\, \left(\frac L2, \frac 1{1000}\right)\, (L,0)\).

Also wählt man lieber den Ansatz

\(q(x) = cx(x-L)=cx^2-cLx\)

Für \(x=\frac L2\) erhält man

\(c\frac{L^2}4 = \frac 1{1000} \Rightarrow c=\frac 1{250L^2}\)

Damit folgt

\(b= \frac 1{250L}\) und \(a=0\) wussten wir von Anfang an.