Gibt es für diese Gleichung eine spezielle Lösungsfunktion mit der man das Substitutionsverfahren anwenden kann?

Question

Aufgabe:

einfache Riccatische Differentialgleichung lösen

Problem/Ansatz:

$$ y'(t) = -k3 (y(t))^2 - k2 y(t) + k1 t $$

k1, k2, k3 sind einfache reelle Konstanten

Gibt es für diese Gleichung eine spezielle Lösungsfunktion mit der man das Substitutionsverfahren anwenden kann? Ich habe schon einige einfache Ansätze ausprobiert, aber keinen geeigneten gefunden.

Numerisch lässt sich die Gleichung problemlos lösen. Ich suche aber nach einer echte Lösungsfunktion.

Comments

Hallo

das scheint eine Richtet Dgl zu sein, die man in eine lineare Dgl  überführen kann Versuchs mit u=y'/(k1y) (ohne Garantie)

lul

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Hallo,

vielen Dank für die Antwort. Den Begriff Richtet Dgl habe ich so noch nicht gehört. Im Netz konnte ich dazu auch nichts finden. Wonach müsste man denn suchen?

Viele Grüße

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Sorry, da hat die blöde Selbstkorrektur zugeschlagen und ich hab leider nicht korrigiert!

Riccati Differentialgleichung :https://de.wikipedia.org/wiki/Riccatische_Differentialgleichung

Gruß lul

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Hallo,

den Ansatz u=y´/k1y habe ich versucht zu verwenden. Damit ist es mir aber nicht gelungen das y zu eleminieren. Gibt es dabei einen Trick? So wie ich das Lösungsverfahren verstehe, darf die Löungsfunktion nur eine von x abhängige Funktion sein.

Auch das zweite, bei Wikipedia angegebene Lösungsverfahren, lässt sicht nicht anwenden.

Können Sie erklären wie das anzuwenden ist?

Viele Grüße

Answer 1

Hallo,

Es gilt allgemein :y =y₁ +1/(z(x)) , z(x)= 1/z , z(x)= z/z^n =1/z (n=2 wegen y^2)

y=y₁ +z

Ansatz mittels konstanter Funktion:

y₁ =a ; y₁'=0

y'(t)= -k₃ (y(t))^2 -k₂ y(t) +k₁ t

y'(t)= -k₃ a^2 -k₂ a +k₁ t , setze t=1 , die Gleichung soll im besten Fall für alle t gelten.

y'(t)= -k₃ a^2 -k₂ a +k₁

0= -k₃ a^2 - k₂ a +k₁

\( a_{1}=\frac{-k_{2}+\sqrt{k_{2}^{2}+4 k_{1} k_{3}}}{2 k_{3}} \)

\( a_{2}=\frac{-k_{2}-\sqrt{k_{2}^{2}+4 k_{1} k_{3}}}{2 k_{3}} \)

Comments

Hallo,

ein interessanter Ansatz. Durch das konstant setzen der zeitabhängigen Funktion y(t) kommt man auf eine Lösung, aber nicht auf die gesuchte zeitabhängige Funktion.

Die Lösung der DG muss doch am Ende eine Funktion y(t)= ... sein.

Setzt man a1 oder a2 ein, gibt es keine Zeitabhängigkeit mehr.

Man kann die Annahme treffen, daß y(0)=0 ist. Das geht aber nicht die t-abhängigen Glieder.