Bestimme den Realteil und Imaginärteil der komplexen Zahl

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die komplexe Zahl \( z \) mit
\( z=-4 \cdot \mathrm{i}-4 \text {. } \)

Bestimmen Sie Realteil und Imaginärteil der komplexen Zahl \( \frac{1}{Z} \).
\( \begin{array}{l} \operatorname{Re}\left(\frac{1}{z}\right)= \\ \operatorname{Im}\left(\frac{1}{z}\right)= \end{array} \)

Problem/Ansatz:

Was ist das richtige Ergebnis hier? Gerne Erklärung dazu würde es verstehen wollen

Answer 1

Aloha :)

Hier ist nach Real- und Imaginärteil des Kehrwertes von \(\,z=-4i-4\,\) gefragt.

Wenn du den Nenner eines komplexen Bruches gerne als reelle Zahl haben möchtest, ist es fast immer eine gute Idee, den Bruch so zu erweitern, dass du die 3-te binomische Formel anwenden kannst:$$\frac1z=\frac{1}{-4i-4}=-\frac14\cdot\frac{1}{i+1}=-\frac14\cdot\frac{1\cdot\pink{(i-1)}}{(i+1)\cdot\pink{(i-1)}}=-\frac14\cdot\frac{i-1}{i^2-1^2}$$$$\;\stackrel{(i^2=-1)}{=}-\frac14\cdot\frac{i-1}{-1-1}=\frac14\cdot\frac{i-1}{2}=-\frac18+\frac18\,i$$Der Realteil beträgt also \((-\frac18)\) und der Imaginärteil ist \(\frac18\).

Answer 2

Dazu muss man erstmal die komplexe Zahl im Nenner loswerden. Das geht durch Erweitern mit dem konjugiert-komplexen. Also

\(\frac1z =\frac1{-4-4i}=\frac{-4+4i}{(-4-4i)(-4+4i)}=...\).

Etwas leichter kann man es sich machen, wenn man vorher 4 ausklammert und dann mit \(-1-i\) rechnet.

Answer 3

Erweitere den Bruch \(\frac{1}{z}\) mit \(\overline{z}\) und du erhältst \(\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}\). Wegen \(z\overline{z}=\Re(z)^2+\Im(z)^2\) ist der Nenner jetzt aber reell und man kann Realteil und Imaginärteil angeben.