Berechnen Sie seine Ableitung.

Question

Aufgabe:

Der Tangens ist definiert durch
tan : (−π/2, π/2) → R, x →sin(x) / cos(x)

i) Zeigen Sie, dass die Tangensfunktion streng monoton steigend ist.
Hinweis: Ableitung.
ii) Die Umkehrfunktion des Tangens ist der Arcustangens:
arctan : R →(−π/2, π/2)
Berechnen Sie seine Ableitung.
Problem/Ansatz:

Comments

https://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/ableitung-tabelle-formelsammlung-mathematik.html

https://www.mathelounge.de/90085/ableitung-arctan-x-1-1-x-2-herleiten-und-d-dx-ln-cosh-x-sinh-x

Answer 1

Zeigen Sie, dass die Tangensfunktion streng monoton steigend ist.

im Zusammenhang mit

Hinweis: Ableitung.

kann ja wohl nur bedeuten, dass die erste Ableitung der Tangensfunktion im gesamten Definitionsbereich positiv (also größer als 0) ist.

Hast du f(x)=sin(x) / cos(x) schon nach Quotientenregel abgeleitet???

Sollte da irgendwo im Ableitungsterm der Teilterm sin²x+cos²x auftauchen: diese Summe ergibt 1.

Nachtrag: Ich hoffe, dass die üblichen Verdächtigen so fair sind und dem Fragesteller Zeit geben, diesem Hinweis eigenständig zu folgen.

Comments

Bei i-) erhielt ich 1/cos^2x und bei ii-) 1/1+x^2 als Ergebnisse.

---

Und wo ist dann deine eigentliche Frage?

---

Bei i-) erhielt ich 1/cos2x und bei ii-) 1/1+x2 als Ergebnisse.

Und warum hast du das nicht als erstes gepostet?

Einige Leute beschäftigen sich mit deinem Problem, obwohl du schon Lösungen hast.

---

Es sollte verpflichtend eingeführt werden, dass ANSÄTZE zu liefern sind. Alles andere sollte kommentarlos gelöscht werden.

Answer 2

Verwende für den ersten Teil die Quotientenregel. Kontrolle: \(f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}\).

Für den zweiten Teil kann man die Formel für die Umkehrfunktion benutzen. Ist \(y=f(x)\), so ist die Ableitung der Umkehrfunktion gegeben durch \((f^{-1}(y))'=\frac{1}{f'(x)}\).