Ist diese Ungleichungsaufgabe so richtig?

Question

Text erkannt:

\( 1<\frac{3 x}{2|x+4|} \quad \mid \cdot(2(x+9)) \)
I.
\( \begin{array}{l} 2(x+4)<3 x \\ 2 x+8<3 x \quad 1-2 x \\ 8<x \end{array} \)
(I).
\( \begin{array}{l} -2(x+4)<3 x \\ -2 x-8<3 x \quad \mid+2 x \\ -8<5 x \quad \mid i(5) \\ -\frac{8}{8}<x \end{array} \)

Aufgabe:

Answer 1

Die Umformungen stimmen. Wie lautet dann nun die Lösungsmenge?

Schreibe bei der Fallunterscheidung unbedingt (!) die Fälle auf. Also

1. \( x+4 \geq 0 \) bzw. \( x \geq - 4 \).

2. \( x+4 <0 \) bzw. \( x<-4 \).

Jetzt musst du nur noch die Lösungsmenge zusammensetzen.

Answer 2

Weg über Quadrieren:

\( 1<\frac{3 x}{2|x+4|}   |^{2} \)

\( 1<\frac{9x^2}{4\cdot(x+4)^2}   \)

\( 4\cdot(x+4)^2<9x^2 \)

\( 4x^2+32x+64<9x^2 \)

\( -5x^2+32x<-64 |:(-5)\)

\( x^2-\frac{32}{5}x>\frac{64}{5}\)

\( (x-\frac{16}{5})^2>\frac{64}{5}+\frac{256}{25}\)

\( (x-\frac{16}{5})^2>\frac{576}{25} | \sqrt{~~} \) 

1.)

\( x-\frac{16}{5}>\frac{24}{5}  \)

\( x_1>8 \)

2.)

\( x-\frac{16}{5}>-\frac{24}{5}  \)

\( x_2<-\frac{8}{5}=-1,6 \)

Proben, da Quadrieren keine Äquivalenzumformung darstellt:

1.) mit \(x=9\)

\( 1<\frac{27}{2|9+4|}  \)

\( 1<\frac{27}{26}  \) stimmt

2.) mit \(x=-2\)

\( 1<\frac{-6}{2|-6+4|} \)

\( 1<\frac{-6}{2|-2|}=-1,5 \) stimmt nicht

Answer 3

Bemühe für eine Kontroll-Lösung einfach Wolframalpha

https://www.wolframalpha.com/input?i=1%3C3x%2F%282%7Cx+%2B+4%7C%29

Lösung ist also x > 8

Das merkst du, wenn du bei dir die Fallunterscheidungen richtig notierst und dann auch richtig die Fallunterscheidung berücksichtigst.

Answer 4

1. Fall: x>= -4

3x/(2x+8) >1

3x > 2x+8

x> 8

2. Fall:

x< - 4

3x/(-2x-8) >1

3x > -2x-8

5x > -8

x > -8/5  , x> - 1,6 (entfällt)

L = (8;oo)