Reelle Nullstelle einer Funktion nachweisen, wie?

Question

Aufgabe:

Die Aufgabe sei zu zeigen, dass die folgende Funktion mindestens eine reelle Nullstelle besitzt:

 $$f(x) = -(2x+1)^3+2^x+cos(x)$$

Problem/Ansatz:

Generell würde ich jetzt die pq-Formel anwenden, was aber nicht geht. Wie kann ich hier vorgehen?

Comments

Algebraisch kann man f(x)= 0 nicht bestimmen.

https://studyflix.de/mathematik/zwischenwertsatz-2405

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Ist auch nicht die Aufgabe.

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Generell würde ich jetzt die pq-Formel anwenden

Wieso? Die ist für quadratische Gleichungen.

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Ist auch nicht die Aufgabe.

Er hat es algebraisch versucht. Ich wollte damit nur sagen, dass es nicht geht. Ist das nicht offensichtlich?

Answer 1

Aloha :)

Da die Funktion stetig ist, nimmt sie nach dem Zwischenwertsatz im Intervall \(x\in[-1;1]\) jeden Funktionswert zwischen \(f(-1)\) und \(f(+1)\) an. Wegen$$f(-1)=\frac32+\underbrace{\cos(1)}_{>0}>0$$$$f(+1)=-25+\underbrace{\cos(1)}_{<1}<0$$gibt es daher ein \(x_0\in[-1;1]\) mit \(f(x_0)=0\).

[ Beachte: \(\cos(-x)=\cos(x)\), daher ist oben \(\cos(-1)=\cos(1)\) ]

Comments

Hallo, vielen Dank für deine Antwort. Ich verstehe soweit. Eine Frage jedoch noch: Solange bewiesen ist, dass die Funktion stetig ist, darf dann jedes Intervall genommen werden oder hat es einen bestimmten Grund warum Du dich für [-1;1] entschieden hast? Oder einfach einfach nur, weil es kleine Zahlen sind?

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Ich muss ein Intervall finden, in dem eine Nullstell liegt. Daher wähle ich die Intervallgrenzen so, dass dort die Funktionswerte unterschiedliche Vorzeichen haben. Ich hätte auch \([0;1]\) als Intervall wählen können, denn \(f(0)=1>0\).

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Schau dir den ZWS an. Da steht alles drin. Das beantwortet dann auch deine Frage.

Answer 2

Du musst die Nullstelle nicht berechnen, sondern nur nachweisen, dass es sie gibt.

Finde eine Stelle, an der der Funktionswert negativ ist. Finde eine andere Stelle, an der der Funktionswert positiv ist.

Wenn du noch nachweisen kannst, dass die Funktion zwischen diesen beiden Stellen stetig ist ...

Answer 3

Die Funktion ist stetig auf ganz \( \mathbb {R} \). Finde \( a \) und \( b \) mit \( f(a) <0< f(b) \). Dann folgt die Existenz der Nullstelle aus dem Zwischenwertsatz.

Answer 4

\(f(x) = -(2x+1)^3+2^x+cos(x)\)

\(f(0) = -(1)^3+1+cos(0)=1\)

\(f(1) = -(2+1)^3+2^1+cos(1)=-27+2+0,54<0\)

Somit gibt es eine Nullstelle.

Comments

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