Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Alice den Korb trifft?

Question

Ich werde aus diesen beiden Aufgaben nicht schlau. Kann mir da jemand helfen, wie ich diese Aufgaben korrekt lösen kann?

1. Alice wirft mit Wahrscheinlichkeit 1/3 einen Korb, Bob mit Wahrscheinlichkeit 1/4. Sie werfen so lange, bis jemand einen Korb wirft. Da Bob mit einer kleineren Wahrscheinlichkeit trifft, darf er mit Werfen beginnen.
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Alice den Korb wirft?

2. Die Wahrscheinlichkeit, dass Alice trifft sei p, dass Bob trifft 1/3 . Die Person mit der kleineren Wahrscheinlichkeit beim Treffen darf beginnen.
Wie gross muss p sein, damit beide die gleich grosse Wahrscheinlichkeit haben, den Korb zu werfen?
Hinweis: Für jede reelle Zahl q mit -1 < q < 1 gilt die Formel 1 + q + q2 + q3 + = 1/1-q

Bin dankbar für jede Hilfe!

Comments

gilt die Formel 1 + q + q2 + q3 + = 1/1-q

Die gilt nicht. Wahrscheinlich gilt die Formel

\(\displaystyle \sum\limits_{n=0}^{\infty} q^n = 1 / (1-q) \)

und wahrscheinlich steht das auch so als Hinweis in der Aufgabenstellung?

Answer 1

Hier kann ein Baumdiagramm helfen. Verdeutliche dir die Situation. Welche Pfade kommen da in Fall 1 dann alle in Betracht? Pfadregeln kennst du? Beachte dazu auch den Hinweis.

Für 1. gibt es zum Beispiel folgende Pfade:
B trifft nicht, A trifft
B trifft nicht, A trifft nicht, B trifft nicht, A trifft,
usw.

Comments

statt usw. besser da capo

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Danke für die zügige Antwort!

Habe mir das ganze mithilfe eines Baumdiagrammes aufgezeichnet. Ich erkenne nun auch die geometrische Reihe, mit q = 2/3·3/4. Jedoch ist mir noch nicht schlüssig, wie ich dann auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit komme.

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Es ist \( q= \frac{1}{2} \). Damit solltest du es berechnen können. Oder was ist die Frage?

Answer 2

1. Alice wirft mit Wahrscheinlichkeit 1/3 einen Korb, Bob mit Wahrscheinlichkeit 1/4. Sie werfen so lange, bis jemand einen Korb wirft. Da Bob mit einer kleineren Wahrscheinlichkeit trifft, darf er mit Werfen beginnen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Alice den Korb wirft?

P(Alice trifft als erstes) = ∑ (k = 0 bis ∞) (3/4·(2/3·3/4)^k·1/3) = 1/2

Comments

Damit kennst du jetzt auch bereits ein p für Aufgabe 2. Den zweiten Wert für p Also p > 1/3 solltest du dann noch herausfinden. Es gilt dann aber der gleiche Ansatz wie bei 1.

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Danke auch dir für die zügige Antwort.

Hättest du mir für Aufgabe 2 auch noch einen helfenden Ansatz?

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2. Die Wahrscheinlichkeit, dass Alice trifft sei p, dass Bob trifft 1/3 . Die Person mit der kleineren Wahrscheinlichkeit beim Treffen darf beginnen. Wie groß muss p sein, damit beide die gleich große Wahrscheinlichkeit haben, den Korb zu werfen?

Naja einmal gilt p = 1/4. Den Wert kennst du ja schon aus Aufgabe 1.

Weiterhin gilt für q = 1 - p und p > 1/3

P(Alice trifft als erstes) = ∑ (k = 0 bis ∞) (2/3·(q·2/3)^k·(1 - q)) = 1/2 → q = 1/2

Damit kann Alice entweder mit der Wahrscheinlichkeit 1/4 oder mit der Wahrscheinlichkeit von 1/2 einen Korb werfen.

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∑ (k = 0 bis ∞) (2/3·(q·2/3)^k·(1 - q)) = 1/2 → q = 1/2

Wie hast du q ermittelt?

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Ziehe zunächst die konstanten Faktoren aus der Summe

∑ (k = 0 bis ∞) (2/3·(q·2/3)^k·(1 - q)) = 1/2

2/3·(1 - q)·∑ (k = 0 bis ∞) ((2/3·q)^k) = 1/2

Summenformel der geometrischen Reihe benutzen

2/3·(1 - q)·1/(1 - 2/3·q) = 1/2

Mit dem HN erweitern

4·(1 - q) = 3·(1 - 2/3·q)

Ausmultiplizieren und auflösen

4 - 4·q = 3 - 2·q

1 = 2·q

q = 1/2

Warst du jetzt nur zu faul das selber zu machen oder warst du nicht darauf gekommen. Ich vermute eher ersteres.