Aufgabe 6: Welche Werte müssen die Elemente a und b der Matrix \boldsymbol{K} haben, damit die Matrix eine Lösung …

Question

Augabe :

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Aufgabe 6: Welche Werte müssen die Elemente \( a \) und \( b \) der Matrix \( \boldsymbol{K} \) haben, damit die Matrix eine Lösung der Matrizengleichung \( \boldsymbol{K}^{T} \cdot \boldsymbol{K}=\boldsymbol{L} \) ist?
\( \boldsymbol{K}=\left[\begin{array}{ll} a & 3 \\ 2 & b \end{array}\right] \quad \boldsymbol{L}=\left[\begin{array}{rr} 20 & 8 \\ 8 & 13 \end{array}\right] \quad a=4 \wedge \quad b=-2 \)

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen? Ich habe das Ergebnis in Rot markiert, allerdings kenne ich den Rechenweg nicht. Ich bitte um Hilfe.

Answer 1

Grundsätzlich schreibt man einfach mal die Rechnung aus und schaut was passiert.

$$K^T \cdot K = L \newline \begin{pmatrix} a & 2 \\ 3 & b \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & 3 \\ 2 & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20 & 8 \\ 8 & 13 \end{pmatrix} \newline \begin{pmatrix} a^2+4 & 3a+2b \\ 3a+2b & b^2+9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20 & 8 \\ 8 & 13 \end{pmatrix} \newline a^2+4 = 20 \rightarrow a = \pm 4 \newline b^2+ 9 = 13 \rightarrow b = \pm 2 \newline 3a+2b = 8 \rightarrow a = 4 ~;~ b = -2$$

Answer 2

Rechne doch mal \(K^TK\) aus und vergleiche mit der Matrix \(L\). Das ist doch das naheliegendste, was man bei so einer Aufgabe macht.