Aufgabe zum Taylorpolynom

Question

Aufgabe:
"Es gilt: arcsin: [−1, 1] → [−π/2, π/2] ist die Umkehrfunktion von sin: [−π/2, π/2] → [−1, 1] Für x ∈ [−π/2, π/2] gilt arcsin′(x) =1/√(1−x^2)
Berechnen Sie α ∈ R, so dass ∀x ∈ [−0.3, 0.3]: |arcsin(x) − p(x)| ≤ α. Dabei soll α möglichst klein sein."

Wie löst man diese Aufgabe?
Ich hatte jetzt erstmal nur die 2. und 3. Ableitung berechnet, aber weiß nicht wirklich, ob man die hier überhaupt braucht.
arcsin''(x)=x/((1-x^2)^3/2)
arcsin'''(x)=(2x^2+1)/((1-x^2)^5/2)

Comments

Was ist denn über p(x) gesagt ?

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Ah entschuldige, ganz vergessen, p(x) ist aus der ersten Teilaufgabe:
p(x)=T_3arcsin(x;0)
Da hab ich dann T_3arcsin(x;0)=x+1/6x^3 berechnet

Answer 1

Abzuschätzen wäre also  \(|\frac{\arcsin^{(4)}(\xi)}{4!}x^4| =|\frac{-6\xi^3-9\xi}{(\xi^2-1)^{3}\cdot \sqrt{1-\xi^2}}\frac{x^4}{4!}|  \)

Nun ist \( \arcsin^{(4)} \) auf [−0.3, 0.3] streng monoton steigend, symmetrisch zu 0

und hat bei 0,3 einen Wert von etwa 4. Also hätte man

\(    |\frac{\arcsin^{(4)}(\xi)}{4!}x^4| \lt  4 \cdot |\frac{x^4 }{4!}| = \frac{x^4 }{3!} \)

und mit x ∈ [−0.3, 0.3] hat man ja \(  \frac{x^4 }{3!} \le \frac{0,3^4 }{3!} = 0,00135 \)

Answer 2

Die zweite und die dritte Ableitung brauchst Du nicht, aber die vierte ;-)

Die kommt nämlich im Restglied vor, und um dessen Abschätzung geht es hier ja. In Deinen Unterlagen steht:

\(|\arcsin x-p(x)|=|R_3(x)|=|\frac{\arcsin^{(4)}(\xi)}{4!}x^4|\) für alle \(x \in [-0.3,0.3]\) und \(|\xi|\le |x|\).

Alles einsetzen und nach oben abschätzen um ein \(\alpha\) zu erhalten. Für den ersten Versuch erstmal irgendein \(\alpha\) erhalten, dann die Rechnung genauer anschauen, wie man auf ein optimales \(\alpha\) kommt.

Was erhältst Du damit?