Basis Diemension und Unterraum bestimmen

Question

Aufgabe:

Sei V = Kⁿ und wir definieren
E(m1₁, m2₂, b) := {k₁ · m₁ + k₂ · m₂ + b | k₁, k₂ ∈ K} für m1₁, m2₂, b ∈ K_n.
(a) Bestimmen Sie eine Basis und die Dimension von E(m₁, m₂, 0_Kⁿ ) in Abhängigkeit von m₁ und m₂.

Text erkannt:

(b) Seien nun \( m_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), m_{2}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} \).
Bestimmen Sie einen Unterraum der Dimension 1 von \( \mathcal{E}\left(m_{1}, m_{2}, b\right) \). Um was für ein Objekt handelt es sich bei dem Unterraum?
(1 Punkte)

Problem/Ansatz:

Wie genau kann ich bei a die Basis bestimmen und wie bestimme ich bei b einen Unterraum?

Answer 1

a) E(m₁, m₂, b) ist der affine Unterraum von K^n durch b

und der zugehörigem Vektorraum ist der von m₁ und m₂

aufgespannte Unterruaum von K^n.

Bei E(m₁, m₂, 0_Kn ) geht der durch den Nullpunkt entspricht also

dem von m₁ und m₂ aufgespannte Unterruaum von K^n.

Wenn m₁=m₂=0_Kn ist es der 0-Raum, also eine Basis die leere Menge

und die dim = 0.

Sind m₁ und m₂ lin. unabhängig, bilden sie eine Basis von E und dim=2.

Sind m₁ und m₂ lin. abh. aber nicht beide 0, dann ist die dim=1 und

einer derjenigen, der nicht 0 ist, bildet eine Basis.

Bei b) kannst du z.B. die Gerade durch (0;0;0) mit Richtungsvektor m₁ nehmen.

Comments

Vielen Dank für diese ausführliche Lösung. Kann man das mit dem affinen Unterraum auch anders Formulieren (den Begriff haben wir in der Vorlesung nämlich noch nicht eingeführt)

---

Den ersten Satz kannst du weglassen.

---

Okay, vielen Dank. Ich habe aber auch nochmal eine Frage zu b. Das ist auf alle Fälle logisch, aber wie schreibe ich diese Gerade als Unterraum auf. An sich wäre die Gerade ja dann:

y=k*(1,2,3)^T + (0,0,0)^T

^{Kann ich das dann wie folgt als Unterraum schreiben:}

U= (k*(1,2,3)^T | k∈K) ( den Nullvektor kann man ja einfach weglassen, da er eh nichts ändert)