Aloha :)
zu 1) Allgemein gilt für jede reelle Zahl \(a\in\mathbb R\):\(\quad\sqrt{a^2}=|a|\quad(\ast)\).
Damit lautet die Vereinfachung in der Aufgabe:$$2\cdot\frac{\sqrt{4a^2}}{3}=2\cdot\frac{\sqrt{2a\cdot2a}}{3}=2\cdot\frac{\sqrt{(2a)^2}}{3}\stackrel{(\ast)}{=}2\cdot\frac{|2a|}{3}=2\cdot\frac{|2|\cdot|a|}{3}=\frac{4|a|}{3}$$
In deiner Lösung fehlen die Betragszeichen um das \(a\).
Diese kannst du nur weglassen, wenn irgendwo steht, dass \(a\ge0\) ist.
zu 2) Hier brauchst du folgende Regeln:$$\underbrace{(a^b)^c=a^{b\cdot c}}_{(1)}\quad;\quad\underbrace{(a\cdot b)^c=a^c\cdot b^c}_{(2)}\quad;\quad\underbrace{\left(\frac ab\right)^c=\frac{a^c}{b^c}}_{(3)}$$
Die konkrete Anwendung sieht so aus:$$\frac{1}{16}\cdot\left(\frac{4a^2}{3}\right)^2\stackrel{(3)}{=}\frac{1}{16}\cdot\frac{(4a^2)^2}{3^2}\stackrel{(2)}{=}\frac{1}{16}\cdot\frac{4^2\cdot(a^2)^2}{3^2}\stackrel{(1)}{=}\frac{1}{16}\cdot\frac{4^2\cdot a^{2\cdot2}}{3^2}=\frac{1}{16}\cdot\frac{16\cdot a^4}{9}=\frac{a^4}{9}$$
Das von dir präsentierte Ergebnis ist falsch, im Nenner muss eine \(9\) statt einer \(3\) stehen.
