Wie lautet das größtmögliche Intervall für t_0, sodass die Lösung für alle t aus dem Intervall existiert?

Question

Aufgabe:

Wie lautet das größtmögliche Intervall für t_0, sodass die Lösung für alle t aus dem Intervall existiert?

Trennung der Variablen

k : ℝ × ℝ → ℝ, k(t, x) = tx, und t_0, x_0 ∈ ℝ
Problem/Ansatz:

Meine Lösung wäre bisher: s(t)=x_0\( e^{\frac{1}{2}(t^2-t_0^2)} \)

Comments

Uns für welche t ist das definiert?

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Hallo

deine Aufgabe ist aus dem Text nicht zu entnehmen.  Um welche Lösung welcher aufgabe geht es denn?

lul

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Es handelt sich um ein Anfangswertproblem mit s'(t)=k(t,s(t)) mit s(t_0)=x_0

t in ganz ℝ

Answer 1

Und wo ist jetzt das Problem?
Definitionsbereich von \(s\) feststellen: Ergebnis?
Wie hängt dieser von \(t_0\) ab: Ergebnis?
Danach sollte die Antwort klar sein.

Comments

d.h. die Lösung stimmt? Der Definitionsbereich von ist ganz ℝ, die Wahl von t_0 sollte egal sein, somit ist t_0 auch auf ganz ℝ definiert für das größtmögliche Intervall

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Prüfe selbst, ob Deine Lösung stimmt (Probe ist immer lehrreich). Deine Argumentation bez. Definitionsbereich usw. stimmt.

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Danke für die Antwort, ich hab es jetzt eine neue Aufgabe gerechnet und bin wieder hängen geblieben, wie ist es bei s(t)=arccos(1/3(t_0^3-t^3)+cos(x_0)) für t_0, für t im gleichen Bereich (ganz ℝ), allerdings x_0 von 0 bis 2π anstatt auf ganz ℝ

Def.bereich arrcos(x) von -1 bis 1

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Das ist schon komplizierter. Ist denn gesichert, dass die Lösungsfunktion stimmt? Gibt es noch genauere Angaben zu \(t_0, x_0\)?

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Wenn man mal von obigem \(s(t)\) ausgeht, muss also gelten

\(-1 \le \frac13(t_0^3-t^3)+\cos x_0 \le 1\) gelten. Wenn man das nach \(t\) umstellt, erhält man den Defbereich für \(s\), das ist dann ein Intervall. Dann schaut man, für welches \(t_0\) dieses Intervall möglichst groß wird. Ich gehe davon aus (prüfe anhand der Aufgabenstellung), dass \(x_0\) fest ist.

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k(t,x) ist t^2/sin(x) die Lösungsfunktion müsste stimmen oder, t_0 aus ℝ, x_0 zwischen 0 bis 2π?

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Lösung stimmt, es müsste aber (hab nur ein online-tool verwendet) zwei Lösungen geben, nämlich \(s(t)=\pm \arccos...\). Ändert aber an der Frage mit dem Defbereich nichts.

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Ich erhalte für t kleiner bzw. größer gleich \( \sqrt[3]{+/-3+t_0^3+3\cos(x_0)} \), x_0 ist zwischen 0 und 2π, was sagt mir das, über t_0?

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\(\pm\) ist in LaTeX \pm.

Und wir brauchen ein Intervall für den Defbereich. Wie lautet das Intervall? \(\pm\) kommt darin nicht vor.

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t ist kleiner gleich \( \sqrt[3]{3+t_0^3+3\cos(x_0)} \) und größer gleich \( \sqrt[3]{-3+t_0^3+3\cos(x_0)} \)

+/−3+�03+3cos(�0)3

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Die Aufgabe ist merkwürdig formuliert. Wie lautet die Frage im Original, vollständig bitte und nichts, absolut nichts weglassen?

Ich nehme an, dass eine maximale Lösung gesucht ist, also eine Lösung mit einem max. Definitionsbereich, und um letzteren geht es hier. Dazu gibt es vermutlich einen Satz in der Vorlesung.

Also wie weit von \(t_0\) entfernt (nach links und nach rechts) existiert jeweils eine Lösung. Dann wäre das das gesuchte Intervall, also \([\sqrt[3]{-3+...},\;\sqrt[3]{3+...}]\). \(t_0\) selbst liegt ja auch dadrin (aber nicht genau in der Mitte).

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Angeben soll das maximale Intervall K ∋ t_0, sodass die Lösung für alle t in K definiert und die DGL löst, aber das Intervall größtmöglich ist, also kein größeres Intervall eine Lösung der Gleichung zulässt

t und t_0 ∈ ℝ und x und x_0 ∈ (0,π)

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Dann ist es so, wie ich oben erklärt habe.

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Ich bin nun etwas verwirrt, was ist nun das Intervall für t_0?