Die oben im Kommentar vorgeschlagene Transformation funktioniert hier gut:
(uv)=(11−11)(xy)(1)
bzw.
(xy)=21(1−111)(uv)(2)
(2) brauchen wir für die Funktionaldeterminante:
∂(u,v)∂(x,y)=21
Vor dem Transformieren kann man erstmal den Betrag loswerden, indem man das Integrationsgebiet entlang x=y halbiert und nur den Teil mit 0≤y≤x nimmt:
∫R+×R+(1+x+y)a∣x−y∣d(x,y)=2∫x=0∞∫y=0x(1+x+y)ax−ydydx(3)
Jetzt überlegt man sich noch, wie das Integrationsgebiet in (u,v)-Koordinaten aussieht. Dazu nehme man z. Bsp. Zettel und Stift und erhält
(3)=2∫v=0∞∫u=0v(1+v)au⋅21dudv=∫v=0∞(1+v)a1∫u=0vududv
Das ist elementar zu integrieren und man erhält
21(−3−a1+2−a2−1−a1)(4)
Hier mal ein numerisches Beispiel mit a=27:
ursprüngliches Integral
mit Formel (4)