Integral berechnen mit Transformationssatz

Question

bestimme auf {x,y > 0} für alle a > 3.

$$ \int \limits_{}^{}\frac{|x-y|}{(1+x+y)^a} dxdy $$

Meine Idee währe irgendwie den Transformationssatz anzuwenden, leider komme Ich nicht auf die Transformation.

mit Polarkoordinaten würde sich doch

$$\int \limits_{0}^{\infin}\int \limits_{0}^{\pi/2}\frac{r|r(cos(\theta) -sin(\theta))|}{(1+r(cos(\theta)+sin(\theta)))^a}d\theta dr$$

und dann aufösen der betragsstriche

$$\int \limits_{0}^{\infin}\int \limits_{0}^{\pi/4}\frac{r^2(cos(\theta) -sin(\theta))}{(1+r(cos(\theta)+sin(\theta)))^a}d\theta dr - \int \limits_{0}^{\infin}\int \limits_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{r^2(cos(\theta) -sin(\theta))}{(1+r(cos(\theta)+sin(\theta)))^a}d\theta dr$$

Das Integral ist mir leider nicht Möglich zu lösen, deswegen denke ich es gibt eine bessere Transformation.

Dankbar für jede Hilfe :)

Comments

Warum hast du zwei Faktoren r im Zähler?

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der eine kommt doch durch den Transformationssatz durch |detDΦ| = r bei der Polarkoordinaten Transformation, oder nicht?

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Wie wärs mit x-y=u x+y=v?

Gruß lul

Answer 1

Die oben im Kommentar vorgeschlagene Transformation funktioniert hier gut:

\(\begin{pmatrix} u \\ v\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}  \quad (1)\)

bzw.

\(\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \frac 12 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u\\ v\end{pmatrix} \quad (2)\)

(2) brauchen wir für die Funktionaldeterminante:

\(\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \frac 12\)

Vor dem Transformieren kann man erstmal den Betrag loswerden, indem man das Integrationsgebiet entlang \(x=y\) halbiert und nur den Teil mit \(0\leq y\leq x\) nimmt:

\( \int_{\mathbb R^+\times \mathbb R^+} \frac{|x-y|}{(1+x+y)^a}\, d(x,y) = 2\int_{x=0}^{\infty}\int_{y=0}^{x} \frac{x-y}{(1+x+y)^a} \,dy\,dx \quad (3)\)

Jetzt überlegt man sich noch, wie das Integrationsgebiet in \((u,v)\)-Koordinaten aussieht. Dazu nehme man z. Bsp. Zettel und Stift und erhält

\((3) = 2 \int_{v=0}^{\infty}\int_{u=0}^{v} \frac{u}{(1+v)^a} \cdot \frac 12 \,du\,dv = \int_{v=0}^{\infty} \frac{1}{(1+v)^a}\int_{u=0}^{v} u \,du\,dv\)

Das ist elementar zu integrieren und man erhält

\(\boxed{\frac 12\left(-\frac 1{3-a} + \frac 2{2-a} - \frac 1{1-a}\right) \quad (4)}\)

Hier mal ein numerisches Beispiel mit \(a=\frac 72\):

ursprüngliches Integral

mit Formel (4)