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bestimme auf {x,y > 0} für alle a > 3.

xy(1+x+y)adxdy \int \limits_{}^{}\frac{|x-y|}{(1+x+y)^a} dxdy



Meine Idee währe irgendwie den Transformationssatz anzuwenden, leider komme Ich nicht auf die Transformation.

mit Polarkoordinaten würde sich doch

00π/2rr(cos(θ)sin(θ))(1+r(cos(θ)+sin(θ)))adθdr\int \limits_{0}^{\infin}\int \limits_{0}^{\pi/2}\frac{r|r(cos(\theta) -sin(\theta))|}{(1+r(cos(\theta)+sin(\theta)))^a}d\theta dr

und dann aufösen der betragsstriche

00π/4r2(cos(θ)sin(θ))(1+r(cos(θ)+sin(θ)))adθdr0π/4π/2r2(cos(θ)sin(θ))(1+r(cos(θ)+sin(θ)))adθdr\int \limits_{0}^{\infin}\int \limits_{0}^{\pi/4}\frac{r^2(cos(\theta) -sin(\theta))}{(1+r(cos(\theta)+sin(\theta)))^a}d\theta dr - \int \limits_{0}^{\infin}\int \limits_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{r^2(cos(\theta) -sin(\theta))}{(1+r(cos(\theta)+sin(\theta)))^a}d\theta dr


Das Integral ist mir leider nicht Möglich zu lösen, deswegen denke ich es gibt eine bessere Transformation.

Dankbar für jede Hilfe :)

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Warum hast du zwei Faktoren r im Zähler?

der eine kommt doch durch den Transformationssatz durch |detDΦ| = r bei der Polarkoordinaten Transformation, oder nicht?

Wie wärs mit x-y=u x+y=v?

Gruß lul

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Beste Antwort

Die oben im Kommentar vorgeschlagene Transformation funktioniert hier gut:

(uv)=(1111)(xy)(1)\begin{pmatrix} u \\ v\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} \quad (1)

bzw.

(xy)=12(1111)(uv)(2)\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \frac 12 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u\\ v\end{pmatrix} \quad (2)

(2) brauchen wir für die Funktionaldeterminante:

(x,y)(u,v)=12\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \frac 12

Vor dem Transformieren kann man erstmal den Betrag loswerden, indem man das Integrationsgebiet entlang x=yx=y halbiert und nur den Teil mit 0yx0\leq y\leq x nimmt:

R+×R+xy(1+x+y)ad(x,y)=2x=0y=0xxy(1+x+y)adydx(3) \int_{\mathbb R^+\times \mathbb R^+} \frac{|x-y|}{(1+x+y)^a}\, d(x,y) = 2\int_{x=0}^{\infty}\int_{y=0}^{x} \frac{x-y}{(1+x+y)^a} \,dy\,dx \quad (3)

Jetzt überlegt man sich noch, wie das Integrationsgebiet in (u,v)(u,v)-Koordinaten aussieht. Dazu nehme man z. Bsp. Zettel und Stift und erhält

(3)=2v=0u=0vu(1+v)a12dudv=v=01(1+v)au=0vududv(3) = 2 \int_{v=0}^{\infty}\int_{u=0}^{v} \frac{u}{(1+v)^a} \cdot \frac 12 \,du\,dv = \int_{v=0}^{\infty} \frac{1}{(1+v)^a}\int_{u=0}^{v} u \,du\,dv

Das ist elementar zu integrieren und man erhält

12(13a+22a11a)(4)\boxed{\frac 12\left(-\frac 1{3-a} + \frac 2{2-a} - \frac 1{1-a}\right) \quad (4)}


Hier mal ein numerisches Beispiel mit a=72a=\frac 72:

ursprüngliches Integral

mit Formel (4)

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