Die oben im Kommentar vorgeschlagene Transformation funktioniert hier gut:
\(\begin{pmatrix} u \\ v\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} \quad (1)\)
bzw.
\(\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \frac 12 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u\\ v\end{pmatrix} \quad (2)\)
(2) brauchen wir für die Funktionaldeterminante:
\(\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \frac 12\)
Vor dem Transformieren kann man erstmal den Betrag loswerden, indem man das Integrationsgebiet entlang \(x=y\) halbiert und nur den Teil mit \(0\leq y\leq x\) nimmt:
\( \int_{\mathbb R^+\times \mathbb R^+} \frac{|x-y|}{(1+x+y)^a}\, d(x,y) = 2\int_{x=0}^{\infty}\int_{y=0}^{x} \frac{x-y}{(1+x+y)^a} \,dy\,dx \quad (3)\)
Jetzt überlegt man sich noch, wie das Integrationsgebiet in \((u,v)\)-Koordinaten aussieht. Dazu nehme man z. Bsp. Zettel und Stift und erhält
\((3) = 2 \int_{v=0}^{\infty}\int_{u=0}^{v} \frac{u}{(1+v)^a} \cdot \frac 12 \,du\,dv = \int_{v=0}^{\infty} \frac{1}{(1+v)^a}\int_{u=0}^{v} u \,du\,dv\)
Das ist elementar zu integrieren und man erhält
\(\boxed{\frac 12\left(-\frac 1{3-a} + \frac 2{2-a} - \frac 1{1-a}\right) \quad (4)}\)
Hier mal ein numerisches Beispiel mit \(a=\frac 72\):
ursprüngliches Integral
mit Formel (4)
