Hallo Leute!
Ich stelle wieder Fragen bzgl. der Substitutionsregel (Transofomation). Mir komm das Ergebnis nicht richtig vor. Ich habe als Ergebnis 1/2 ln(e-1) * pi rausbekommen, aber ist das mit dem ln so korrekt?? Wenn nein, was müsste da sonst rauskommen bzw. was müsste ich korrigieren?
Aufgabe:
Bestimme das Integral \( \int \limits_{\mathcal{R}} \frac{1}{x^{2}+y^{2}+1} \mathrm{~d}(x, y) \). Verwendet man Polarkoordiaten
\( \Psi(r, \phi)=\left(\begin{array}{l} x(r, \phi) \\ y(r, \phi) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} r \cos (\phi) \\ r \sin (\phi) \end{array}\right) \)
entspricht \( \mathcal{R} \) dem Bereich \( \Psi\left(\mathcal{R}^{*}\right) \) mit
\( \mathcal{R}^{*}=\left\{(r, \phi) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leq r \leq \sqrt{\mathrm{e}-1}, 0 \leq \phi \leq \pi\right\} \)
Problem/Ansatz:
\( \begin{array}{l}\text { (2) } \int \limits_{R} \frac{1}{x^{2}+y^{2}+1} d(x, y) \\ \psi(r, \phi)=\left(\begin{array}{l}x(r, \phi) \\ y(r, \phi)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}r \cos \phi \\ r \sin \phi\end{array}\right) \\ \begin{aligned} \mathbb{R}^{*}=\mathcal{L}(r, \phi) \in \mathbb{R}^{2} \mid & 0 \leqslant r \leqslant \sqrt{e-1}, \\ 0 & \leqslant \phi \leqslant \pi\}\end{aligned} \\ J \psi=\left(\begin{array}{cr}\cos (\phi) & -r \sin (\phi) \\ \sin (\phi) & r \cos (\phi)\end{array}\right) \\ |\operatorname{det} J \psi|=\left|r \cos ^{2}(\phi)+r \sin ^{2}(\phi)\right|=r \\ \int \limits_{0}^{\pi} \int \limits_{0}^{1} \frac{1}{r^{2}+1} \cdot r \cdot d r \cdot d \phi= \\ \int \frac{r}{u} d r=\int \frac{r}{u} \cdot \frac{1}{2 r} d u= \\ u=r^{2}+1 \\ \frac{d u}{d r}=2 r \\ d u=2 r d r \\ d r=\frac{1}{2 r} d u \\\end{array} \)
\( \begin{array}{l}\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u= \\ \frac{1}{2}[\ln | u|]=\frac{1}{2} \cdot\left[\ln \mid r^{2}+1\right]_{0}^{\sqrt{e-1}}= \\ =\frac{1}{2}\left[\ln \left|r^{2}+1\right|\right]_{0}^{\sqrt{e-1}} \cdot[\phi]_{0}^{\pi}= \\ =\frac{1}{2}[\ln |e-1|][\pi]= \\\end{array} \)
