Wenn eine natürliche Zahl a nicht durch 5 teilbar ist, dann ist sie auch nicht durch 10 teilbar.

Question

Aufgabe:

Wenn eine natürliche Zahl a nicht durch 5 teilbar ist, dann ist sie auch nicht durch 10 teilbar.

Problem/Ansatz:

Man soll dieses Beispiel entweder mit einer Kontraposition oder einem Widerspruch beweisen

Ich habe mit einem Kontrapositionsbeweis angefangen:

∀a∈ℕ: 10|a→5|a

Voraussetzung: 10×z=a (Teilbarkeitsrelation)

Zu zeigen muss man ja jetzt 5|a, aber ich weiß nicht ob mein Ansatz überhaupt richtig ist und die Umsetzung gestaltet sich ebenfalls schwer.

Answer 1

Eine äquivalente Aussage lautet: wenn eine Zahl durch 10 teilbar ist, ist sie auch durch 5 teilbar. Das ist ja Dein Ansatz, gut.

Weise das nach. Beachte, dass wenn eine Zahl durch k teilbar ist, muss sie durch jeden Teiler von k teilbar sein (muss sich ja komplett rauskürzen).

Comments

Das heißt ∃a∈N: a|5→a|10

a= 2×k+1 (k=5): a=2×5+1=11 ⇒ 11 ist nicht durch 5 teilbar

a= 2×k+1 (k=10): a=2×10+1=21 ⇒ 21 ist nicht durch 10 teilbar

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Das ist jetzt ne neue Aussage, von der bisher nicht die Rede und die weder äquivalent zur Aussage in der Aufgabe ist noch deren Negation ist. Mit der haben wir also nichts zu tun.

Du musst zeigen, wie Du ja richtig festgestellt hast: \(\forall x: \; 10|x \implies 5|x\).

Anleitung siehe oben. Man kann das mit Worten machen, oder auch mit math. Notation. Bei letzterem verzichte bitte darauf, den Malpunkt mit was zu bezeichnen, was aussieht wie ein x.

Answer 2

Die Aussage lautet: Wenn x nicht durch 5 teilbar ist, dann ist x nicht durch 10 teilbar.

Die Kontraposition lautet: Wenn x durch 10 teilbar ist, dann ist x auch durch 5 teilbar.

Beweis durch Kontraposition:

Angenommen, x ist durch 10 teilbar. Das bedeutet, es gibt eine ganze Zahl k, sodass x = 10·k.

Wenn wir die Gleichung durch 10 dividieren, erhalten wir x/10 = k. Das zeigt, dass x durch 10 teilbar ist, weil k eine ganze Zahl ist.

Da 10·k gleich 2·5·k ist, sehen wir, dass x auch durch 5 teilbar ist, da 2·k eine ganze Zahl ist.

x = 2·5·k → x/5 = 2·k

Dies schließt den Beweis durch Kontraposition ab, und wir können daher die ursprüngliche Aussage akzeptieren: Wenn eine natürliche Zahl x nicht durch 5 teilbar ist, dann ist sie auch nicht durch 10 teilbar.