Überprüfung von Matrizen auf Definitheit

Question

(Definitheit)

Überprüfen Sie die folgenden Matrizen auf Definitheit:
\( \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & -4 \end{array}\right),\left(\begin{array}{rrr} -3 & 1 & -3 \\ 1 & -2 & 0 \\ -3 & 0 & -4 \end{array}\right),\left(\begin{array}{rrr} 7 & 0 & -8 \\ 0 & 1 & 2 \\ -8 & 2 & 17 \end{array}\right) \)

Answer 1

Aloha :)

Die erste Matrix ist indefinit, weil auf der Hauptdiagonalen unterschiedliche Vorzeichen auftauchen.

Die zweite Matrix hat die Hauptminoren \((-3), (+5), (-2)\). Deren Vorzeichen wechseln sich mit Minus beginnend ab, sodass die Matrix negativ definit ist.

Die dritte Matrix hat die Hauptminoren \((+7), (+7), (+27)\). Sie sind alle positiv, sodass die Matrix positiv definit ist.

Comments

Die erste Matrix ist indefinit, weil auf der Hauptdiagonalen unterschiedliche Vorzeichen auftauchen.

Gilt das immer oder nur wenn die Matrix symmetrisch sind? Ich kenne nur die Eigenwertmethode und die Methode vom Jahreswechsel.

Unter welchem Stichwort finde ich diese Regel, wenn ich suche?

Answer 2

Da alle Matrizen symmetrisch sind, reicht die Berechnung der Eigenwerte aus. Sind sämtliche Eigenwerte größer (gleich), so ist die Matrix positiv (semi)definit. Analog für kleiner (gleich) 0 und negativ (semi)definit.

Fslls bekannt: evtl. reicht hier auch schon eine Abschätzung über die Gerschgorin-Kreise aus.