Grenzwerte der folgenden Reihen

Question

Aufgabe:

$$\text{Berechnen Sie die Grenzwerte der folgenden Reihen:}\\\text{I) } \sum \limits_{n \geq 0}^{\infty} (\frac{2}{3})^n\\ \text{II) } \sum \limits_{n \geq 1}^{\infty} (\frac{1}{4})^n \\\text{III) } \sum \limits_{n \geq 1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$$

Hallo zusammen,

ich verstehe leider nicht, wie ich die Grenzwerte dieser Reihen bestimmen soll. Könnte mir jemand dabei helfen?

Danke im Voraus :)

Answer 1

Schau dir mal Konvergenzkriterien für Reihen an, geometrische Reihe, Quotientenkriterium... , sind ziemlich simpel an sich. Für die ersten beiden Tipp: geometrische Reihe.

Answer 2

Schau dir mal folgendes Video an

https://youtu.be/2TCDiK7GpNM

∑ (n = 0 bis ∞) ((2/3)^n) = 1 / (1 - 2/3) = 3

∑ (n = 1 bis ∞) ((1/4)^n) = 1 / (1 - 1/4)  - 1 = 1/3

Tipp:

1/(n·(n + 1)) = 1/n - 1/(n + 1)

∑ (n = 1 bis ∞) (1/n - 1/(n + 1)) = 1/1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + ... = 1

Comments

Das Video ist ja mal der Hammer! Vielen Dank für die Erklärung :)