Überprüfung der berechneten Werte eines Gleichungssystems für a und b

Question

Hallo liebe Mathefreunde,

ich habe kein mathematisches, sondern ein technisches Problem:

Aufgabe:

folgendes Gleichungssystem soll mit

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm

gelöst werden (Gleichungssystem bitte mit Strg C und Strg V in das Gleichungssystem kopieren)

und mit der letzten 26sten Gleichung (der Einzigen mit einer Konstanten) überprüft werden.

Problem/Ansatz:

wenn man die berechneten Werte für a und b einsetzt, kommt niemals die geforderte Zahl 2240 heraus.

Frage: warum kann man sich auf diesen Rechner nicht verlassen ? oder wo ist der Fehler ?

983,4496a + 175,616b + 31,36c + 5,6d + e = n + p + r + 5,6z
702,464a + 94,08b + 11,2c + d = d
376,32a + 33,6b + 2c = d
5,6d + e = 175,616f + 31,36g + 5,6h + e
n = -3,456f + -1,44g + e - 1,44z
n + 1,2m = -3,456f + -1,44g + e + 1,728k + 1,44l + 1,2i
p = -18,522f + -4,41g + e - 4,41z
p + 2,1o = -18,522f + -4,41g + e + 9,261k + 4,41l + 2,1i
r = -24,334f + -5,29g + e - 5,29z
r + 2,3q = -24,334f + -5,29g + e + 12,167k + 5,29l + 2,3i
1,728f + 1,44g + 1,2i + e = 1,2m + n
12,167f + 5,29g + 2,3i + e = 2,3q + r
175,616f + 31,36g + 5,6h + e = n + p + r + 5,6z
175,616f + 31,36g + 5,6i + e = n + p + r + 5,6m + 5,6o + 5,6q
175,616f + 31,36g + 5,6j + e = n + p + r + 5,6t + 5,6v + 5,6x
31,36k + 5,6l + i = m + o + q
m - 1,2s - t = q - 2,3s - t
31,36k + 5,6l + j = 5,6s + t
31,36k + 5,6l + j = 5,6u + v
31,36k + 5,6l + j = 5,6w + x
31,36k + 5,6l + j = t + v + x + 5,6z
31,36k + 5,6l + h = 5,6y + l
1,65y + l = u
1,75y + l = s
2,2y + l = w
134,4a + 6b = 2240

u.a. berechnete Werte für a und b

a = 32,6136480923
b = -360,5833661129

134,4 * 32,6136480923   +   6 * -360,5833661129   =   2219,7741069277

Vielen Dank im voraus für Eure Hilfe

mit freundlichen Grüßen aus Wesertal

Martin Hümer

Text erkannt:

2219,7741069277

Answer 1

Ein CAS sollte das fehlerfrei hinbekommen...

GeoGebra CAS

\(\begin{array}{l}  a = \frac{100}{3}\\ b = \frac{-1120}{3}\\ c = \frac{3136}{3}\\ d = \frac{6272}{3}\\ e = \frac{5796}{5}\\ f = \frac{200}{3}\\ g = -1120\\ h = 6272\\ i = 2022\\ j = -6272\\ k = 200\\ l = -2240\\ m = -378\\ n = \frac{12708}{5}\\ o = -1800\\ p = \frac{24318}{5}\\ q = -2072\\ r = \frac{81926}{15}\\ s = -1540\\ t = -3920\\ u = -1580\\ v = -3696\\ w = -1360\\ x = -4928\\ y = 400\\ z = 0 \end{array} \)

Comments

Ein CAS sollte das fehlerfrei hinbekommen...

Dann hast du dich noch nie mit der numerischen Lösung mathematischer Probleme auseinandergesetzt.

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CAS ist nicht-numerisch. Das kann klappen, oder auch nicht. Überprüfen ist immer sinnvoll.

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Es ist dennoch "nur" Software, die Probleme bereiten kann. Auch hinter einem CAS stecken nur Algorithmen...

Answer 2

Ich sehe da kein Problem. Das ist ein großes LGS, mit 26 Gleichungen und 26 Unbekannten. Dies wird (siehe die Webseite) mit dem einfachen Gauß-Algorithmus gelöst, ohne stabilisierende Massnahmen wie Pivotisierung z.B.. Da kann man keine exakten Ergebnisse erwarten. Das sowieso nicht, aber man muss damit rechnen, dass sich Ungenauigkeiten aufschaukeln. Und am Ende 2219 anstelle 2240 ist nicht so dramatisch, dass man irgendwelche Fehler vermuten müsste.

Bei Anwendung von besseren Algorithmen erzielt man auch genauere Ergebnisse. Dazu müsste man aber erstmal die Schreibweisen anpassen (. anstelle , z.B.).

Ich kann mir auch denken, dass Tippfehler in den Gleichungen sind - dass die zweite Gleichung mit ...+d = d endet finde ich suspekt. Ähnliches in weiteren Gleichungen. Es lassen sich manche von Hand vereinfachen, auch kann man nach einzelnen Variablen auflösen und einsetzen, was Anzahl Gleichungen/Unbekannte reduzieren würde. Das würde schon helfen.

Comments

Hallo nudger,

1.) wenn man die letzte Gleichung mit der einzigen Konstanten an den Anfang setzt, kommt fast exakt das erwartete und von mir gewünschte Ergebnis heraus.

2.) natürtlich kommt zigmal n+p+r vor (was mir auch nicht so gefällt), aber ich kann dafür keine neue Gleichung machen und das Ergebnis davon in einer neuen Unbekannten speichern, weil Arndt Bruenner LEIDER nur die maximale Höchstzahl von 26 Gleichungen zulässt.

3.) natürlich kann man Unbekannte auflösen, aber ich habe es wissentlich NICHT gemacht, damit die einzelnen Werte dafür erhalten bleiben und ausgewiesen werden. Das dient der Übersichtlichkeit in diesem ganzen Projekt. Du kennst ja leider nicht das Gesamtkonzept dahinter.

4.) Tippfehler ? warum ? Beispiel ? Das Gleichungssystem funktioniert und ich habe es hier auf diese Seite nur "rein"kopiert. Da gibt es keine Tippfehler.

5.) ... d = d sieht zwar seltsam aus, macht aber Sinn, weil die Logik eine andere ist als bei .... = 0 !

zu 5.) Dazu habe ich eine in den Gleichungen enthaltene (Teil)Aufgabe vorbeireitet. Ich muss aber wieder Werte vorgeben, die sonst mit dem umfangreichen Gleichugnssystem berechnet werden.
Eine Tangente habe ich bewusst nicht zeichnen lassen, weil das ganze Bild sonst zu unübersichtlich würde.

AUFGABE:

vorgegeben ist f(x) = 6272/3 x + 1159,

es soll eine quartische Funktion gefunden werden, wo f(x) an den Stellen 0 und 5,6 gleichzeitig Sekante und Tangente ist.

Die 1. Ableitung davon (also eine kubische Funktion) soll an den Stellen 0 und 5,6 ebenfalls jeweils wieder eine Tangente mit der Steigung 6272/3 haben.

(dieses sind nur die ersten 3 ! Zeilen des Gleichungssystems mit ... d = d)

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kleine Korrektur:

AUFGABE:

vorgegeben ist f(x) = 6272/3 x + 1159,2

Die ,2 wurde irgendwie "verschluckt"

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Du hast die Antwort offenbar nicht so ganz verstanden.

Es liegt völlig in der Natur der Sache, dass bei der Lösung eines solchen LGS mit Hilfe des Computers Probleme auftreten. Daher sollte man schauen, dass man derartige Problemstellung derart vereinfacht, dass die Anfälligkeit für Probleme minimieren kann.

1) Durch das Vertauschen von Gleichungen ändert sich die Matrix, mit der der Gauß-Algorithmus durchgeführt wird. Es kann dann natürlich sein, dass Fehler geringer ausfallen.

2) Habe mir jetzt die Gleichungen nicht im Detail angeschaut, aber wenn nur der Ausdruck n+p+r vorkommt, dann kann man diesen auch DIREKT in den Gleichungen durch eine einzige Unbekannte ersetzen. Dafür muss man nicht extra eine neue Gleichung erstellen. Das macht das Problem nur wieder unnötigerweise komplexer.

3) Kann man nicht beurteilen. Aber weniger Gleichungen und weniger Unbekannte sind wesentlich übersichtlicher. ;)

5) .... + d=d ist deswegen suspekt, weil man bei der Gleichung einfach -d rechnen könnte und das d in der Gleichung dann nicht mehr vorkommt. Das macht die Gleichung wiederum einfacher, was das Lösen mit Hilfe des Computers wiederum besser macht.

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Apfelmännchen hat schon alles gesagt, trotzdem noch ein paar Ergänzungen:

Zu 1) Es kann sein, dass der Fehler geringer ausfällt. Kann aber auch sein, dass er größer ausfällt.

Der Rechner von Arndt Brünner ist aufgrund des simplen Lösungsalgorithmus sicher nicht dafür gedacht, komplexere Probleme wie dieses mit gewisser Genauigkeit zu lösen. Da ist AB mit seiner Einschränkung auf 26 Variablen schon sehr großzügig.

Wenn man aufgrund Übersichtlichkeit keine Umformungen vornehmen will, dann muss man halt mit diesem System leben.

Sicherlich würden bessere Algorithmen (MATLAB u.ä.) genauere Ergebnisse liefern.

Was ist denn "das erwartete und von mir gewünschte Ergebnis"? Wenn Du die Lösung schon kennst (woher?), was ist das Ziel des ganzen?

Eventuell kann man das ganze Problem auch mit math. knowhow von Anfang an ganz anders aufstellen, dazu müsste man das ganze Projekt kennen.

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Hallo nudger, hallo Apfelmännchen,

vielen Dank für Eure Antworten.

Leider ist mir MATLAB u.ä. und/oder math.knowhow nicht bekannt.

Die ersten Gleichungen (2 quadratische Funktionen) habe ich in 2020 erstellt und dann immer mehr erweitert (jetzt 4 kubische und die quartische Funktion) und dann natürlich immer überprüft, dass diese Gleichungen voneinander unabhängig sind und sich nicht wiedersprechen.

Leider habt ihr nichts über meine obige Zeichnung geschrieben oder sogar berechnet.

Ich hatte hier schon 2 weitere (Teil)Aufgaben aus meinem Projekt gestellt, die auch unabhängig gelöst wurden.

Eine davon ist diese hier:

https://www.mathelounge.de/984730/berechne-berechnen-konstante-einer-kubischen-stammfunktion

Vielen Dank

Gute Nacht

Martin Hümer

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Zur Zeichnung: Da das laut Deiner Aussage nur eine Teilaufgabe ist, deren Zahlenwerte schon die berechnete Lösung benutzen, scheint mir eine Beschäftigung damit nicht sinnvoll.

Meine Fragen (siehe vorigen Kommentar) sind noch offen.

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Ich wüsste nun auch nicht, was man zu der Zeichnung sagen sollte. Sah für mich auch nur nach einem Beispiel aus, um das mit der Gleichung ...+d=d zu rechtfertigen. Ändert nach wie vor nichts an der Tatsache, dass es unnötig ist und das Problem auch nur aufbläht und weiterhin nichts über das Projekt bzw. das eigentliche Ziel bekannt ist. Wenn man ein LGS aufstellt, schaut man immer auch, dass man das händisch soweit vereinfachen kann, dass es bei der numerischen Lösung weniger Probleme gibt.

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Wenn Du es selbst lösen willst, kannst Du scilab probieren. Das ist ähnlich MATLAB, aber freie software.

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Hallo lieber wächter

schön, dass es Dich gibt.

Ich habe mir lange überlegt, wie ich darauf jetzt (sinnvoll) antworten kann.

1.) d=d, einmal ist d die Konstante einer Funktion und das andere Mal die Steigung der Sekante=Tangente.

2.) Das Motto hier in dieser HP lautet ja, „wir helfen Dir in Mathe“. In 99,99 % ? aller „Fälle“ ist es wohl so, dass jemand eine Aufgabe hat und die Lösung braucht. Ich brauche aber umgekehrt eine Aufgabe zu meiner Lösung. Tatsache ist, dass ich nur 3 x-Werte und einen y-Wert (Konstante hier 400 und bei Erweiterung um 3*5=6000 sind alle Ergebnisse ganzzahlig) benötige, um 26 Unbekannte zu berechnen. Alle diese Unbekannte sind nicht einfach nur so berechnete Werte, sondern Parameter von einer quartischen Funktion, mindestens 3 kubischen Funktionen und 3 quadratischen Funktionen sowie mindestens 6 Tangenten und vielen weiteren Geraden, die alle u.a. auch durch Integration miteinander verbunden sind. Mittlerweile habe ich schon wieder einige mehr dazu passende Gleichungen gefunden, aber keine Möglichkeit der Realisierung (u.a. eine kubische Funktion mit Extremstellen jeweils an den Intervallgrenzen. Diese Funktion kann mit den bereits vorhandenen Unbekannten beschrieben werden).

Meine Vision ist:

Was wäre, wenn an mein „Gerüst“ ! noch viele weitere Gleichungen in unbekannter Höhe „angebaut“ würden. Könnte dann KI irgendwelche neuen Verknüpfungen, Zusammenhänge, Erkenntnisse und Lösungen usw. herausfinden ?
Vielen Dank für Deine Geduld.
mit freundlichen Grüßen aus Wesertal
Martin Hümer