a) Bedenke, dass gilt ggT(k,n)=1 ==>
Es gibt a und b in ℤ mit a*k+b*n=1 ==> k ≡1 mod n
==> [k]n = [1]n
Ist [k]n ∈ H gilt also auch [1]n ∈ H und wegen der
Abgeschlossenheit von H also auch [1]n + [1]n ∈ H also [2]n ∈ H
und [2]n +[1]n ∈ H also [3]n ∈ H. etc. Also H=ℤ/n.
b) \( \left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3\end{array}\right) \) Das ist die
Spiegelung an der Mittelsenkrechten von 1_2. Die ist zu sich selbst invers,
also besteht die von \( \left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3\end{array}\right) \) erzeugte
Untergruppe nur aus \( \left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3\end{array}\right) \) und dem
neutralen Element \( \left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 1& 2 & 3\end{array}\right) \).
Die von \( \left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2\end{array}\right) \) erzeugte
Untergruppe. Ist eine 120° Drehung um den Umkreismittelpunkt des
Dreiecks. 2x ausgeführt also die 240°-Drehung \( \left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1\end{array}\right) \)
und beim 3. Mal erhält man ja das neutrale Element.
Da \( \left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2\end{array}\right) \) und \( \left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1\end{array}\right) \)
zueinander invers sind ist die Untergruppe
{ \( \left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2\end{array}\right) \) , \( \left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1\end{array}\right) \), \( \left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right) \) }
