Beweis für Gruppen und Untergruppen

Question

Aufgabe:Beweis für Gruppen und Untergruppen

Problem/Ansatz:

Beweisen oder widerlegen sie:

1. Für jede Gruppe (G, *) und je zwei Untergruppen U1 und U2 von (G, *) ist

a)  U1 n U2

b)U1 u U2

Untergruppen von (G *)

2.Fur Jede Gruppe (G,*) und zwei Untergruppen U1 ,U2 von (G,*) ist

U1* U2 :={u1 * u2 : u1 € U1 ,u2€ U2} Untergruppe von (G,*)

3.Für Jede Gruppe (G,*) eine Untergruppe U1 von (G ,*) und einen Normalteiler U2 von (G,*) ist U1*U2 Untergruppen von (G, *)

Answer 1

1.  U1 ∩ U2 ist eine Untergruppe.

Beweis durch Prüfen eines U-Gruppenkriteriums.

U1 ∪ U2 ist keine. Betrachte die Vielfachengruppen

(V6,+) und (V4,+) als Untergruppen von (V2,+).

Die Vereinigung ist nicht abgeschlossen, da z.B. 4+6

nicht darin ist.

Comments

Dein Beispiel überzeugt.

Answer 2

Zu 2.: Betrachte \(G=S_3\), \(U_1=\{id, (1\;2)\}\) und \(U_2=\{id, (1\;3)\}\) ...

Zu 3.: Dies solltest du beweisen können ...